fonction-intégrale

[Invité]

bonjour, j'orais besoin de votre aide pour cet exercice s'il vous plait :
la fonction F est définie sur R+* par F(x)=∫x 1 t/(t-ln t) dt
1) justifier l'existence et dérivabilité de F sur R+*
étudier le sens de variation de F
dois-je prendre la fonction f(x)=x/(x-ln x)?
2) déterminer le signe de F(x). quelle interprétation graphique peut-on donner de F(x)?
3) montrer que pour x appartient à 0;1 x/(x-lnx) est inférieur à x
en déduire que pour x appartient à 0;1 (x²-1)/2 est inférieur à F(x) inférieur à 0
je pensais appliquer le théorème de la moyenne mais sa me mène nul part...
4)montrer que pour x supérieur à 1, f(x) est supérieur à 1. en déduire la limite de F(x) quand x tend vers +infinie
5)calculer ∫x 1 (1+ln t)dt
montrer que si t supérieur à 1, t/(t-lnt) inférieur à 1+lnt et en déduire que si x supèrieur à 1, F(x) inférieur à x lnx

merci d'avance
amelie

[sos-math(13)]

Bonjour Amélie,

ta notation est un peu ambigue : est-ce de 1 à x ou de x à 1 ?

Pour la question 1, c'est avec F et non f qu'il faut travailler. F est fonction de x, puisque tu constates que l'intégrale dépend du paramètre x.
Pourquoi existe-t-elle ? Pourquoi est-elle dérivable ?

à bientôt.