Suites

[Terminale S]

Bonsoir,

Je suis un module d'approfondissement en Terminale S et j'ai un travail à faire sur les suites. Normalement, la plus grande partie est faisable avec le programme de Terminale S, sauf quelques points, notamment les équivalents à la fin, mais d'après ce que l'on nous a expliqués pendant le module, les équivalents, c'est quasiment comme des suites !

Pour la question 1, j'ai déjà un peu de mal. Voici ce que j'ai fait :

Je dérive la fonction f_n, avec la formule : (g ° f) ' (x) = f' * (g' ° f)

J'obtiens f_n'(x)=ln(n)*n^(x-1)-1.

Est-ce correct ?

Ensuite, je n'arrive pas à utiliser ce résultat pour trouver les variations...

Je pourrais peut-être résoudre l'équation ln(n)*n^(x-1)-1 = 0 ?

Si oui, j'aboutis à : n^(x-1)=1/ln(n). Et je n'arrive pas à continuer...
(sachant que l'on nous a dits que a^x = exp(x ln(a)), je ne sais pas si cela peut aider...

2. J'ai aussi regardé la question suivante, et là encore je n'y arrive pas.

Ce que j'ai commencé à faire : e<3<n
donc ln(e)<ln(3)<ln(n)
donc ln(ln(e))<ln(ln(3))<ln(ln(n))

Je n'ai pas l'impression d'être sur la bonne voie... Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance pour votre aide et pour vos pistes !

Bonne journée.

[SoS-Math(34)]

Bonsoir

En effet, au 1° ta dérivée est correcte.
L'idée de résoudre l'équation fn'(x) = 0 est bonne! la solution est en fait An… si tu ne fais pas d'erreur de calcul.


Pour le b), montrer que An < 1 équivaut à prouver que An - 1 < 0 donc il suffit par exemple d'étudier le signe de - ln(ln n)/ln n.
n^(x-1)=1/ln(n) équivaut à exp[(x-1) ln n] = 1/ ln (n)... tu peux alors utiliser ln pour exprimer (x - 1) ln(n) puis ensuite tu isoles x.

Pour le 2), pose X = ln(n). X tend vers +inf quand n tend vers +inf.
Que sais-tu de la limite de (ln X)/X quand X tend vers +inf?
Cela te permettra de conclure.

Bonne recherche
Sosmaths

[Scientifique]

Merci beaucoup pour la réponse.

J'ai réussi les question 1.a, et 1.b, merci !

Pour la 1.c, que faire ? Etudier le sens de variation de la fonction : x -> ln(x)-x+1 ?
Mais cela n'about à rien pour moi...

Que faire ensuite ?

Merci et bonne journée.

[SoS-Math(34)]

Bonsoir,

Pour la 1)c), tu peux utiliser une méthode classique : pour prouver que A < B, on peut étudier le signe de A - B.
En l'occurrence dans cette question, tu peux étudier le signe de k(x) = x - 1 - ln x sur l'intervalle demandé.
Pour cela, étudie les variations de la fonction k, construis son tableau de variation et déduis-en la valeur de son minimum… le signe de k s'en déduira directement.

Bonne recherche
sosmaths

[Scientifique]

Merci pour la réponse.

J'ai réussi à montrer que ln(x) =< x-1.

Par contre, comment en déduire que An > 0 puis que f(An) inférieur ou égal à 0 ?

Là, je ne vois pas... Car on ne peut pas poser An=x car on ne sait justement pas si An est strictement positif, c'est ce que l'on veut montrer...

[Scientifique]

Quelques réponses complémentaires :

A la question 1.a, peut-on déjà donner le tableau de variations ?

x | - infini An + infini

______________________________________________

fn'(x) | - 0 +

______________________________________________

fn | décroissante fn(an) croissante

Pour la fin de la 1.c :

Comme d'après les résultats précédents, on a a_n<1 et comme 0<a_n et comme la fonction f_n est strictement croissante sur 0 ; + infini, on obtient fn(a_n)<fn(1)=0. Donc f(a_n)<0.

Qu'en pensez-vous ? Le problème, c'est que cela montre aussi le résultat de la question 1.d, donc il y a un souci...

Enfin, je n'arrive pas à calculer la limite de fn en +infini et en - infini pour construire le tableau de variations en 1.e, j'ai une forme indéterminée... Que pourrais-je donc faire ?

Merci infiniment pour l'aide.

[SoS-Math(25)]

Bonsoir,

\(n\geq 3\) donc l'idée est de remplacer x par ln(n) dans l'inégalité de la question c). Tu pourras montrer que \(a_n \geq 0\)

Bon courage

[Scientifique]

Oui, j'ai réussi, merci beaucoup !

Ensuite, avez-vous reçu mon autre message, il y a une heure environ ?

J'avoue que je stresse beaucoup, car je dois rendre ce DM mardi, et demain après-midi, je ne pourrai pas envoyer de message sur ce forum...

Y aura-t-il quelqu'un disponible ce soir et demain matin ?

Merci infiniment pour l'aide en tout cas.

[SoS-Math(25)]

Pour la limite, il te faut passer par l'écriture exponentielle de \(n^{x-1}\).

Connais-tu certaines croissances comparées ?

A bientôt

[Scientifique]

Merci beaucoup pour votre réponse.

Oui, je connais des croissances comparées, comme celles en image...

J'ai écrit la fonction fn comme en image, mais ensuite je suis bloqué... Que faire ?

Ensuite, que pensez-vous des questions précédentes 1.c et 1.d, notamment de mon problème évoqué ? En prenant directement des inégalités strictes à la question 1.c, je peux montrer le résultat de la 1.d, donc je ne vois pas trop ce qui est attendu comme différence de raisonnement entre celui qui prouve que fn(an) inférieur ou égal à 0 en 1.c et celui qui prouve que fn(an)<0 en 1.d... Qu'en pensez-vous ? Avez-vous une idée ?

Merci encore et bonne soirée.

[SoS-Math(25)]

Je pense qu'effectivement tu peux justifier cette inégalité stricte par le fait que la fonction fn est strictement décroissante sur un certain intervalle qui contient An.

A bientôt

[SoS-Math(25)]

Par contre je n'ai pas ton image dans le message.

A bientôt

[Scientifique]

D'accord.

Pour les images dont je parlais, il y a eu un souci tout à l'heure, je les remets en pièce jointe ici.

"Oui, je connais des croissances comparées, comme celles en image...

J'ai écrit la fonction fn comme en image, mais ensuite je suis bloqué... Que faire ?"

A propos de 1.c et 1.d, que faire concrètement ? Car je ne sais vraiment ce qui est attendu quand on dit dans la question "en reprenant le raisonnement de la question 1.c", sachant que je ne sais pas quoi faire en 1.c pour montrer que fn(an) inférieur ou égal à 0... Car je montre directement en 1.c l'inégalité stricte...
Que faire alors ?

Merci encore !

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fonctionlimite.gif (1.58 Kio) Vu 5136 fois

[sos-math(21)]

Bonjour,
je reprends le sujet en cours de route et il faudrait que tu précises ta demande.
Pour le 1c et le 1.d, il suffit de reprendre la démonstration de l'inégalité et de déterminer pour quelle valeur l'inégalité est une égalité.
En dehors de ces valeurs, l'inégalité est stricte.
Pour ta "mise en forme", dans quel but écris-tu cela et pour répondre à quelle question ?
Merci de préciser cela afin que je t'aide plus précisement.
Par ailleurs, je ne suis pas sûr que ce soit un devoir de terminale S (même en approfondissement): les équivalents ne sont pas au programme de ce niveau.
Bonne continuation,
À bientôt

[idem]

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse.

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire avec ça :

"Pour ta "mise en forme", dans quel but écris-tu cela et pour répondre à quelle question ?
Merci de préciser cela afin que je t'aide plus précisément."

A propos de quelle question parlez-vous ?

Les images que j'ai mises ainsi que l'expression de f(x) devraient me permettre de calculer les limites de f_n en -infini et en +infini...

Est-ce que je suis sur la bonne voie ?

Car même avec cette expression de f_n (image ci-dessus), je n'arrive pas à calculer la limite en +infini, ni en -infini...

Merci infiniment pour votre aide et bonne journée.