SOS-MATH

Bonjour
n entier positif
On donne la suite: Un=V(5+ (-1)^n ) racine carrée
Uo=V(6)
U1=V(4)
U2=V(6)
U3=V(4)
......
IL semble que (u) n'a pas de limite.
On peut le démontrer directement par encadrement mais j'ai voulu le faire par récurrence.

Pn: Un=V(5+ (-1)^n )
initialisation:
Uo=V(6)
U1=V(4)=2
U2=V(6)
U3=V(4)=2
vrai.
Supposons que Pn vraie pour n fixé.
4<=(5+ (-1)^n )<=6 (sans la racine carrée)
On multiplie par -1:
-6<=-5+(-1)^(n+1) <=-4
On multiplie par -1:
4<=5- (-1)^(n+1) <=6

au lieu de 4<=5+ (-1)^(n+1) <=6

Merci pour des réponse

Bonjour,
effectivement la récurrence est une méthode ici, mais la propriété

Supposons que Pn vraie pour n fixé.
4<=(5+ (-1)^n )<=6 (sans la racine carrée)

ne convient pas il me semble pour montrer que la suite n'a pas de limite...
De plus, lorsque tu multiplie par -1, tu sembles sous entendre que : \(5+(-1)^{n+1}=(-1) \times (5+(-1)^n)\) ce qui est faux !

Il faut retravailler sur Pn.
Ici, le problème de non convergence est dû à \((-1)^n\) ... pourquoi ? Peut-on exprimer la suite autrement pour faciliter la preuve ?
à bientôt

Bonjour

De plus, lorsque tu multiplie par -1, tu sembles sous entendre que : 5+(−1)^(n+1)=(−1)×(5+(−1)^n) ce qui est faux !

Je ne vois pas ou' j'ai écrit ça !

Comme vous le suggérez, je pense qu'on peut écrire la suite sous la forme:
4<=5+(-1)^(n+1)/(-1)<=6
-6<=5+(-1)^(n+2)/(-1)<=-4
4<=5+(-1)^(n+1)<=6

Est ce correct ?

Bonsoir,
Cela ne démontre pas que la suite n'a pas de limite !! Cela établit juste sur : \(4 \leqslant u_n\leqslant 6\) pour tout \(n\)
De plus, pourquoi multiplier (ou diviser) par -1 ???

Attention : \(u_{n+1}=5+(-1)^{n+1}=5+(-1)^n \times (-1) \neq (5+(-1)^n) \times (-1)\) je pense que tu fais une belle erreur de calcul.

Pour résoudre cette question, tu peux par exemple faire la différence de deux termes successifs, tu verras que cette différence ne tends pas vers 0, donc la suite n'a pas de limite.
Tu peux aussi travailler avec les termes d'indice pairs (\(n=2 \times p\)) et ceux d'indice impairs (\(n=2 \times p+1\))....
Je te laisse continuer à chercher

Bonjour

Pour résoudre cette question, tu peux par exemple faire la différence de deux termes successifs, tu verras que cette différence ne tends pas vers 0, donc la suite n'a pas de limite.

U(n+1)-Un=(-1)^(n+1) -(-1)^n = 2*(-1)^(n+1)
Si n pair alors U(n+1)-Un=-2
Si n impair alors U(n+1)-Un=2

lim( U(n+1)-Un) ne temps pas vers 0 donc la suite n'a pas de limite.

Est ce correct ?

Bonjour,

Les calculs sont incorrects dans la mesure où il manque la racine carrée.
La distinction de cas n pair et n impair est tout à fait adaptée.
On a effectivement une différence de deux termes consécutifs qui donnera \(\sqrt{6}-2\) ou \(2-\sqrt{6}\) selon la parité de \(n\).
Et l'on obtient la conclusion que tu as énoncée : dans les deux cas, la différence ne tend pas vers 0.

SoSMath

Bonjour et merci pour la réponse.

Au départ, dans mon premier message, je voulais savoir si on peut faire une démonstration par récurrence ?

Bonjour,

La récurrence te permettrait d'écrire Un sous une autre forme (Valeur des termes d'indice pair et valeur des termes d'indice impair par exemple). Mais pour la limite, il te faudrait revenir à la différence de deux termes consécutifs (ou alors utiliser des propriétés que tu ne dois pas connaître encore).

A bientôt