SOS-MATH

Bonjour!
J’ai un dm à faire et j’ai une hésitation sur quelques questions. J’aimerai bien que quelqu’un puisse me dire si je me trompe ou pas! Merci par avance

Soit f(x) = (x+2)/exp(x)
On note Cf la courbe représentative de f et T la tangente à Cf au point A d’abscisse 0.

1) Calculer la limite de f en - infini et + infini. Quelle conséquence graphique peut on en déduire?

Ce que j’ai fais:
lim (x+2) quand x tend vers - infini = - infini
lim exp(x) quand x tend vers - infini = 0
Donc par quotient, lim f(x) quand x tend vers - infini = - infini

lim (x+2) quand x tend vers + infini = + infini
lim exp(x) quand x tend vers + infini = + infini
On a la FI « infini/infini »
Donc on factorise puis on simplifie;
f(x) = x (1 + 2/x) / x (exp(x)/x)
f(x)= (1 + 2/x) / (exp(x)/x)
lim (1 + 2/x) quand x tend vers + infini = 1
lim (exp(x)/x) quand x tend vers + infini = + infini
Donc par quotient, lim (1 + 2/x) / (exp(x)/x) quand x tend vers + infini = + infini

Conséquence graphique: la fonction f est décroissante puis croissante

2) étudier le sens de variation de la fonction f

Ce que j’ai fais:
F(x) est de la forme (uv)’ donc:
f’(x)= (1*exp(x) - (x+2)*exp(x) ) / (exp(x))au carré
= (exp(x) - xexp(x) + 2exp(x) ) / (exp(x))au carré
= exp(x) (1 - x + 2 ) / (exp(x))au carré
= exp(x) (x - 1) / (exp(x))au carré
Comme exp(x) > 0 pour tout x, f’(x) est du signe de (x-1)

Tableau:
Sur ]-infini; 1] , f’ est négatif et f est décroissant
Sur [1;+infini[, f’ est positif et f est croissant
Minimum de f = 2

3) déterminer une équation de la tangente T

Ce que j’ai fais:
Y= f’(a) (x-a) + f(a)
Y= f’(0) (x-0) + f(0)
Y= -1 (x-0) + 2
Y= -x+2

Bonjour,
pour la première limite, je suis d'accord à condition que tu précises que la limite de l'exponentielle est \(0^+\) car il pourrait y avoir un changement de signe pour le passage au quotient.
En revanche pour la deuxième, il y a un problème car l'exponentielle est plus forte que la fonction affine \(x+2\) donc on devrait avoir une limite égale à 0.
Si on reprend la factorisation on a \(\dfrac{(x+2)}{\text{e}^x}=(x+2)\text{e}^{-x}=\left(1+\dfrac{2}{x}\right)x\text{e}^{-x}\), or d'après ton cours sur les croissances comparées, tu dois avoir que \(\lim_{x\to+\infty}x\text{e}^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}=0\).
Ce qui te permettra de conclure...
Il y a un erreur dans ta dérivée, c'est un quotient et non un produit, qui se dérive en \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
Tu peux utiliser la dérivée d'un produit à condition que tu écrives ta fonction sous la forme d'un produit : \(f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}\)
Dans tous les cas, ta dérivée doit valoir : \(f'(x)=\dfrac{-x-1}{\text{e}^{x}}=(-x-1)\text{e}^{-x}\) et est donc du signe de \(-x-1\).
Pour la tangente, c'est bon malgré ta dérivée fausse ; refais le calcul de \(f'(0)\) pour retrouver -1.
Bonne correction

Merci beaucoup de votre aide! Bonne journée