DM pour la rentrée

[Nathan]

Bonsoir,

J'ai un DM de Mathématiques à faire pour la rentrée.

Cependant, j'éprouve quelques difficultés...

Pour la question 1.a, ce que j'ai fait est en pièce jointe. Est-ce correct ?

Pour la question 1.b, je sais qu'un système est dit échelonné lorsque le nombre de coefficients nuls en début d’équation croît d’une ligne à la suivante, mais quand j'utilise l'algorithme du pivot de Gauss, j'ai des lignes du système trouvé précédemment qui disparaissent... Alors comment faire ?

Pour la question 1.c, j'ai essayé d'utiliser le quatrième tiret des consignes indiquées en bas de la première page, mais je n'y arrive pas...

Pourriez-vous me donner quelques explications et quelques pistes s'il vous plaît ?

Merci beaucoup d'avance et joyeuses fêtes de fin d'année.

système d'équations.png (2.72 Kio) Vu 5501 fois

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nathan,

ton devoir est assez dur … je ne suis pas sur de pouvoir t'aider.
Voici un exemple de trigonalisation avec la méthode du pivot de Gauss. Il faut parfois échanger des lignes :

\(\begin{cases} & \ x_1+x_2=d_1 \\ & \ x_2+x_3+x_4=d_3 \\ & \ x_3=d_2-d_1 \\ & \ x_4+x_5=d_4-d_2+d_1 \\ & \ x_5+x_6=d_6 \\ & \ x_6=d_5-d_4+d_2-d_1 \end{cases}\)

Pour la question 1c,
d1 est impair, et d1 = x1 + x2 donc x1=0 et x2=1 ou x1=1 et x2=0.

1er cas : x1=0 et x2=1
d2 est impair, comme x1+x2+x3=d2, alors nécessairement x3=0
il faut continuer ainsi de suite …


2ème cas : x1=1 et x2=0.
je te laisse faire.

Bonnes fêtes à toi aussi,
SoSMath.

[Nathan]

Merci beaucoup pour la réponse.
Voici ce que j'obtiens :

1er cas :

x1=0 et x2=1

Je trouve :

x3=0
x4=0
x5=1
x6=0

2ème cas :

x1=1 et x2=0

Je trouve :

x3=0
x4=1
x5=0
x6=1

Or : x6=d5-d4+d2-d1

d5 et d4 impairs, d2 et d1 impairs.
La différence de deux nombres impairs étant paire (comment justifier cela ?), et la somme de deux nombres pairs étant paire (comment justifier cela ?), x6 doit être pair. Donc x6 différent de 1.

Donc on en déduit que la liste est :

x1=0
x2=1
x3=0
x4=0
x5=1
x6=0

Que pensez-vous de ce raisonnement ?

Ensuite, la question de l'énoncé est : que peut-on en déduire ? Je ne vois pas ce que l'on pourrait en déduire pour le problème...

Enfin, quel est le rang du système trouvé en 1.b ?

Merci encore pour l'aide, indispensable...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nathan,

ce que tu as fait est très bien.
Pour la justification de la somme deux impairs qui donne un pair cela est admis dans l'énoncé.

Pour le rang, je te laisse regarder ton cours …
Comme le rang est égal au nombre de lignes du système, alors ton système admet une unique solution !

SoSMath.

[Nathan]

Merci beaucoup pour la réponse.

Et pour la différence de deux impairs qui donne un pair, comment le justifier ?

Et le fait qu'il y ait une unique solution intervient dans quelle question ?

Enfin, comment faire pour la 1.d ?

Je n'ai vraiment pas d'idée...

Merci beaucoup pour toutes vos explications, je commence vraiment à y voir plus clair.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nathan,

La différence de 2 impairs c'est comme la somme … d'ailleurs "soustraire" c'est "ajouter l'opposé" …
les nombres 2p+1 et 2k+1 (où p et k sont des entiers) sont des nombres impairs et leur différence est 2(p-k) qui est pair …

Pour la 1d, il essayer de faire comme la question 1c.
On veut d1 impair et les autres pairs.
d1=x1+x2 et d1 impair, donc soit x1=0 et x2=1 soit x1=1 et x2=0.
il faut ainsi continuer l'étude des cas …

SoSMath.

[Nathan]

Merci pour votre réponse.

J'ai trouvé, pour la question 1.d :

x1=0
x2=1
x3=1
x4=0
x5=1
x6=1

Est-ce juste ?

Que peut-on conclure pour cette question 1.d ?

Ensuite, comment rédiger cela ? Car j'ai fait ça au brouillon, mais par exemple pour montrer l'unicité, j'ai du mal à faire quelque chose de rigoureux...

Partie B :

J'ai quelques pistes, mais maîtrisez-vous le langage Python ? Je suis en spécialité ISN...

Partie C :

Je devrais y arriver, j'ai commencé et cela a l'air similaire à la partie A.

Partie D :

J'ai beaucoup de mal... Pourriez-vous 'm'aider à trouver le système et à l'échelonner ?

Merci encore pour toute votre aide, j'espère que vous pourrez me répondre pour toutes ces parties avant 14h (fermeture du site), afin que j'avance le plus possible cet après-midi et que je renvoie dès la réouverture ce que j'ai fait. Merci encore !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nathan,

Ta solution pour la question 1d est juste, mais y a-t-il d'autres solutions ?

Pour la partie B, je ne peux pas t'aider.

Pour la partie D, c'est comme la partie C …
La diode d1 s'allume ou s'éteint lorsque les touches x1, x2 et x4 sont pressées. Donc d1 = x1 + x2 + x4.
La diode d2 s'allume ou s'éteint lorsque les touches x1, x2, x3 et x5 sont pressées. Donc d2 = x1 + x2 + x3 + x5.
Je te laisse terminer.

SoSMath.

[Nathan]

Merci pour la réponse.

Justement, je n'arrive pas à savoir s'il y a d'autres solutions pour la question 1.d... Qu'en pensez-vous ?

Pour la question 8.a, voici ce que j'ai trouvé comme système :

x1+x2+x4=d1
x2+x3+x6=d3
x3-x4+x5=d2-d1
x4+x6=d4+d3-d2
2x6=d2+d1-d3+d5
0=d1-d3-d4+d6

Est-ce correct ?

Par contre je n'arrive pas à traiter les questions 8.b et 8.c... Pourriez-vous me donner quelques pistes svp !

Merci encore, bonne journée à vous !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nathan,

Pour la question 1d, si tu as bien étudié tous les cas en principe tu ne trouves pas d'autres possibilités.

Pour le 8a, je n'ai pas fait les calculs mais cela semble cohérent.

Pour le 8b, c'est comme la question 1, il faut étudier chaque cas ...
d1 = x1+x2+x4, est impair, donc d1 =1 ou 3
d'où les cas : x1=1, x2=0 et x3=0 ou x1=0, x2=1 et x3=0 ou x1=0, x2=0 et x3=1 ou x1=1, x2=1 et x3=1.

ensuite exploite le fait que d2 est pair, puis d3 pair , ....

SoSMath.

[Nathan]

D'accord, merci beaucoup, c'est plus clair.

Pensez-vous avoir le temps de vérifier le système obtenu ? Cela me rassurerait...

J'ai réussi la question 8.b grâce à vos explications, merci beaucoup.

Par contre, je n'ai pas réussi à trouver comment faire la question 8.c, j'ai pensé à une disjonction de cas un peu pareil que pour les questions précédentes, mais cela n'a pas abouti...

Avez-vous une idée pour cette question 8.c ?

Merci encore pour votre aide !

[SoS-Math(9)]

Nathan,

Je ne vais pas faire tous les calculs pour le 8a, car il y a plusieurs possibilités de réponses … et ce que tu trouves semble cohérent.

Pour la 8c, je pense qu'il faut faire la disjonction de cas.

Bon courage.
SoSMath.

[Nicolas]

Merci pour votre réponse.

J'ai essayé d'avancer le plus possible ce DM.

Voici les questions que je me pose désormais :

1. A propos du rang, j'ai pu lire que le rang d'un système est égal aux nombres d'équations indépendantes. Dans cette phrase, que signifie "nombre d'équations indépendantes" ?

Dans mon cours, on parle seulement de :

-- le rang : le nombre de pivots non nuls ; — les équations principales : les lignes contenant les pivots non nuls ; — les équations auxiliaires : les lignes qui ne sont pas des équations principales ; — les inconnues principales : les inconnues associées aux pivots non nuls ; — les inconnues auxiliaires : les inconnues qui ne sont pas des inconnues principales.

2. J'ai aussi lu que : "Lorsque le rang égale le nombre d'inconnues, le système a une solution unique." Mais dans mon cours il est écrit que : "Si toutes les équations auxiliaires sont compatibles et si toutes les inconnues sont principales alors le système linéaire admet une unique solution." La phrase que j'ai lue et celle de mon professeur sont-elles équivalentes ?

3. Que peut-on en déduire ? (question 1.c) Il faut tout simplement en déduire qu'il existe une unique combinaison de touches pour éclairer toutes les touches dans le cas où (n,p)=(1,6), et cette combinaison est (0,1,0,0,1,0) ? Est-ce la seule déduction selon vous ? Il n'y a rien à dire de plus ?

4. Comment rédiger la question 1.c ? Je pensais à l'analyse-synthèse, mais est-ce que cela permettrait bien de montrer l'existence ET l'unicité ? Dans ce cas, c'est l'analyse qui permet de montrer l'existence et la synthèse qui permet de montrer l'unicité ? Je ne vois pas du tout comment rédiger, désolé...

5. Pour la question 1.d, on doit avoir d1 impair et tous les autres pairs. Même question : comment rédiger pour montrer la liste trouvée ? Analyse-synthèse ou autre chose ? J'ai en effet trouvé l'unique liste (0,1,1,0,1,1) : est-elle correcte ?

6. Pour la question 5.a, voici le système que j'ai trouvé :

x1+x2=d1

x2+x3+x4=d3

x3=d2-d1

x4+x5=d4-d2+d1

x5+x6+x7=d6

x6=d5-d4+d2-d1

x7=d7-d5+d4-d2+d1

Est-ce correct ? Le rang est-il bien égal à 7 ?

7. Il faut encore que je fasse les questions 5.b et 5.c, je vous tiens au courant, mais il y a le même problème que pour la partie A : on effectue un raisonnement par analyse-synthèse pour ces 2 questions ou autre chose ?

8. Pour la question 7, voici le système que j'ai trouvé :

x1+x2+x4=d1
x2+x3+x6=d3
x3-x4+x5=d2-d1
x4+x7+x8=d7
x5+x7+x8+x9=d8
x6+2x7+x8=d4+d3-d2-d5
-2x7-x8-2x9=-d1+d2-d3+d5-2d8
-x8+8x9=5d1-3d2+d3-2d4-3d5+2d6-4d7+6d8
11x9=6d1-3d2+d3-3d4-4d5+2d6-4d7+6d8+d9
Est-il correct ? Son rang est-il bien égal à 9 ?

9. Pour la question 8 (partie D), voici le système que j'obtiens :

x1+x2+x4=d1
x2+x3+x6=d3
x3-x4+x5=d2-d1
x4+x6=d4+d3-d2
2x5=-d1+d2-d3+d5
0=d1-d3-d4+d6

Est-ce correct ? Par contre, là, je n'arrive pas à trouver le rang, comment faire ?

10. Pour la question 8.b, j'ai dit que, d'après la dernière équation du système ci-dessus, comme d1 est impair et d2, d3, d4, d5, et d6 sont pairs, alors : d1-d3-d4+d6 est impair. Or : d'après le système, 0=d1-d3-d4+d6. Mais 0 est pair. Donc incohérence.
Ce raisonnement est-il correct ?

11. Pour la question 8.c, j'ai plus de mal.
J'ai réussi à montrer que x4 est différent de x6 :
D'après le système, on a : x4+x6=d4+d3-d2. Or, comme d1, d2, d3, d4, d5, et d6 sont tous impairs, alors d4+d3-d2 est impair. Donc, comme x4+x6=d4+d3-d2, x4 et x6 ne doivent pas avoir la même parité. Donc x4 est différent de x6.

Ce raisonnement est-il exact ?

Par contre, je n'arrive pas à montrer que x1 est différent de x3 ni x2=x5. Avec l'équation 2x5=-d1+d2-d3+d5, j'ai pensé à une disjonction de cas avec x5=1 ou x5=0, mais elle n'aboutit pas...

Ensuite, pour la question 8.c.ii, comment faire ? Là, pour le coup, je n'ai vraiment plus d'idée...

12. Voici le système que j'ai trouvé pour la question 10 :

x1+x2+x6=d1

x2+x3+x4+x8=d3

x3+x7-x6=d2-d1

x4+x5+x6-x7+x9=d1-d2+d4

x5+x9+x10=d10

x6+x8+x9=d8-d2+d1

x7+x8+x10=d5-d4+d8

x8+2x9+x10=d9+d10-d5

3x9=-d1+d2-d3+2d4+d7-2d8+d10+2d9-3d5

0=d6+d3-d1+d10-d5-d8

Est-ce correct ? Par contre, là, je n'arrive pas non plus à trouver le rang, comment faire ?

13. Ensuite, avec le système ci-dessus, on fait comme à la question 8.b, mais que doit faire pour faire de même qu'à la question 8.c.ii étant donné que l'on a plus d'inconnues que pour le système précédent ?

14. Auriez-vous déjà une idée de ce qui est attendu aux questions 11 et 12 de la partie E ? J'ai commencé à y réfléchir, mais je n'ai malheureusement pas d'idée... Et vous ?

Merci infiniment pour votre aide qui m'est indispensable, et désolé pour le nombre important de questions, mais ce DM est assez monstrueux !

J'espère que vous pourrez tout de même répondre à ces 14 interrogations malgré le temps que cela prend d'y répondre...

Je vous suis vraiment reconnaissant du temps que vous consacrez à m'aider !

Je suis aussi stressé car je dois rendre mon DM lundi prochain et je crains de n'avoir pas le temps de le terminer...

Merci donc pour votre aide, et bonne année 2019 une nouvelle fois.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Nicolas,

Effectivement, ton devoir est "monstrueux" par sa longueur …
Et je ne peux pas vérifier toutes tes réponses par manque de temps.
Ce que tu as fait semble cohérent. Il faut prendre confiance en toi.
Si tu as fait des erreurs, cela n'est pas très grave. Ce qui compte, c'est d'avoir chercher et trouver des réponses cohérentes.
Tu pourras avec la correction de ton professeur reprendre ce devoir et analyser tes erreurs.

Bon courage,
SoSMath.

[Nicolas]

Bonjour,

Merci pour votre réponse, c'est normal que vous n'ayez pas le temps vu la longueur du DM...

Je sélectionne donc les points qui me posent le plus problème et les plus "rapides" :

Avec ce système :

x1+x2+x4=d1
x2+x3+x6=d3
x3-x4+x5=d2-d1
x4+x6=d4+d3-d2
2x5=-d1+d2-d3+d5
0=d1-d3-d4+d6

1. Comment montrer qu'il n'existe aucune liste (x1, x2, x3, x4, x5, x6) appartenant à (0;1)^6 telle que d1 est impair et d2, d3, d4, d5, et d6 sont pairs.

2. Si on fixe une liste (x1, x2, x3, x4, x5, x6) appartenant à (0;1)^6 et on suppose que d1, d2, d3, d4, d5, d6 sont tous impairs, on doit montrer que : x1 est différent de x3, x2=x5, et x4 est différent de x6.

J'ai réussi à montrer que x4 est différent de x6 :
D'après le système, on a : x4+x6=d4+d3-d2. Or, comme d1, d2, d3, d4, d5, et d6 sont tous impairs, alors d4+d3-d2 est impair. Donc, comme x4+x6=d4+d3-d2, x4 et x6 ne doivent pas avoir la même parité. Donc x4 est différent de x6.

Ce raisonnement est-il exact ?

Par contre, je n'arrive pas à montrer que x1 est différent de x3 ni x2=x5. Avec l'équation 2x5=-d1+d2-d3+d5, j'ai pensé à une disjonction de cas avec x5=1 ou x5=0, mais elle n'aboutit pas... Avez-vous trouvé un raisonnement pour montrer ces 2 choses ?

Voilà, j'espère que vous aurez le temps de répondre à ces 2 questions !

Bonne journée et merci encore.