SOS-MATH

Bonjour, j'ai un exercice a faire mais je ne comprends pas bien comment le faire et il est très intéressant en vu de mon contrôle.
J'aimerais de l'aide.
Dans le repère (O;I;J),on part de 0,pour arriver en A (2;1).
On admet que si on tend un câble entre 0 et A, il prendra une position d'équilibre qui coïncide sur [0;2] avec la représentation graphique C de la fonction f définie par :

f(x) = b(e^x-a + e^-x+a) + c

A) Calculer la dérivée de f(x)

B) montrer que les nombres a,b et c vérifient le système :
b(e^-a + e^a) + c = 0
b(e^2-a + e^-2+a) + c = 1
b(e^-a - e^a) = 0

C) déterminer les valeurs des nombres a, b et c.

II.
Dans cette question, f est définie sur [0;2] par :
e^x + e^-x - 2
---------------
e^2 + e^-2 - 2

Étudier les variations de f.

Merci de votre aide.

Bonjour,
il faut que tu nous dises où est ta difficulté pour que nous puissions t'aider.
La dérivée se calcule assez facilement \((e^{x-a})'=e^{x-a}\) et \((e^{-x+a})'=-e^{-x+a}\) donc \(f'(x)=b(e^{x-a}-e^{-x+a})\)
Pour la question 2, les égalités correspondent aux propriétés de la courbe :
la courbe passe par (0 ; 0) donc \(f(0)=0\) donc ...
la courbe passe par A(2 ; 1) donc \(f(2)=1\) donc...
Il te reste une dernière information sur la dérivée (voir ton graphique) du style \(f'(0)=0\) j'imagine donc...
Bonne continuation

Bonsoir, tout d'abord merci de ta réponse.
En effet pour la dérivée j'ai trouvé cela et c'est à la question 2 que je bloque.
Lorsque je fais f(2), que dois-je remplacer par 2 pour obtenir 1 ? a ?
C'est ici que je bloque car je n'ai pas beaucoup fais de système auparavant.
Merci

Bonjour,
dans un écriture de ce type, le \(x\) est la variable (c'est par rapport à lui qu'on dérive et qu'on calcule). Le \(a\) est ce qu'on appelle un paramètre, c'est-à-dire un nombre réel fixé mais pas dont la valeur n'est pas donnée.
Donc ici, il faut bien remplacer \(x\) par 2 pour A.
Tu aurais aussi pu le voir dans les expressions proposées : les \(x\) ont disparu alors que les \(a\) étaient encore présents.
Bonne continuation

Alors j'ai réussi a refaire les systèmes et cela colle.
Pour trouver la valeur de a, b et c j'ai donc réussi et j'arrive maintenant au 2
Mon seul soucis est de dériver la fonction que j'ai indiqué dans l'énoncé
J'ai trouvé f'(x) = -2e^x+2e^-x
-----------
(e^x+e^-x-2)^2

Bonjour,
quelle est ta fonction ? Je ne comprends pas tes notations... il serait plus simple que tu nous envoies une photo de ton énoncé afin que nous parlions bien des mêmes expressions.
Si tu résous ton système, tu obtiens \(a=0\) \(b=\dfrac{1}{e^{2}+e^{-2}-2}\) et \(c=\dfrac{-2}{e^{2}+e^{-2}-2}\) ce qui donne pour ta fonction
\(f(x)=b(e^{x-a}+e^{-x+a})+c=\dfrac{e^{x}+e^{-x}-2}{e^{2}+e^{-2}-2}\).
Or si on dérive cette fonction, il n'y a que le numérateur qui dépend de x et \((e^x+e^{-x}-2)'=e^x-e^{-x}\) donc \(f'(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{2}+e^{-2}-2}\).
Donc il faut que tu revoies ton calcule (pas la peine de faire une dérivée de la forme u/v ici car il n'y a que le numérateur qui dépend de \(x\).
Bonne continuation

Comment as-tu trouvé les valeurs de a, b et c ?
Car j'ai trouvé des valeurs correspondantes pour c mais pas pour a ni b.
Pourrais-tu m'expliquer comment trouver ces valeurs ?
Par ailleurs, pour la dérivation de la 2nde expression je l'ai mal écris mais la dérivée que tu as trouvé colle avec ce que j'ai.
Merci de ta réponse.

Bonsoir,
il faut résoudre une sorte de système d'inconnues \(a,b,c\) :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}b(e^{-a} + e^a) + c& =& 0\\
b(e^{2-a} + e^{-2+a}) + c& = &1\\
b(e^{-a} - e^a) &=& 0
\end{array}\right.\)
La dernière équation se traduit par \(b=0\) ou \(e^{-a} - e^a=0\) : un produit de deux facteurs est nul si l'un des deux facteurs est nul. Comme \(b\neq 0\), on a
\(e^{-a} - e^a=0\) soit \(e^{-a} =e^a\). Du fait des propriétés de l'exponentielle (deux exponentielles sont égales si leurs exposants sont égaux).
donc \(a=-a\) ce qui donne \(a=0\).
avec cette valeur le système devient :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}2b+ c& =& 0\\
b(e^{2} + e^{-2}) + c& = &1\\
\end{array}\right.\)
on soustrait ensuite les deux équations pour faire disparaître le \(c\), on trouve alors la valeur de \(b\). On remplace ensuite cette valeur dans une des équations pour retrouver la valeur de \(c\).
Bon calcul

D'accord j'ai compris excepté lors de la 2eme partie quand tu fais 2b+c=0? Pour trouver b je ne vois pas comment tu fais

Bonjour,

Puisque a = 0, l'équation \(b(e^{a}+e^{-a})+c=0\) s'écrit donc \(b(e^{0}+e^{0})+c=0\).
Or on sait que exp(0) = 1 ce qui explique que 2b + c = 0.

bonne recherche.

pour calculer b et c, il suffit alors de résoudre le système précédent :

- soit par substitution (tu peux par exemple remplacer c dans la 2nd équation par son expression en fonction de b, expression trouvée à l'aide de la 1ère équation)
- soit par combinaison linéaire (voire comment éliminer un inconnu, par addition ou soustraction membre à membre des deux équations, éventuellement en multipliant auparavant les équations par des réels non nuls adéquats).

Bonne continuation