L'exercice est à propos des probabilités et des suites, c'est le numéro 57 :
1a) P(E1) = 0,4 PE1(E2) = 0,6 et PE1barre(E2) = 0,4. D'après la formule des probabilités totales P(E2) = P(E1∩E2)+P(E1barre∩E2)
P(E1∩E2) = P(E1) × PE1(E2)
P(E1barre∩E2) = P(E1barre) × PE1barre(E2)
P(E2) = P(E1) × PE1(E2) + P(E1barre) ×PE1barre(E2)
= 0,4 × 0,6 + (1 - 0,4) × 0,4
= 0,24+0,24 = 0,48 Est-ce exact ?
b) J'ai fait un arbre de probabilités avec En au début et 2 branches sur celle du haut j'ai marqué 3/5 et au bout j'ai marqué En+1 et sur celle du bas j'ai marqué 2/5 et au bout j'ai marqué En+1barre.
La probabilité de P(En+1) en fonction de P(En) est de 3/5 donc 0,6 Est-ce exact ?
2a) u1 = 0,4 inférieur strictement à 0,5
u2 = 0,2 × 0,4 + 0,4 = 0,48 inférieur strictement à 0,5
un inférieur strictement à 0,5 donc un× 0,2 inférieur strictement à 0,5 × 0,2
0,2 un inférieur strictement à 0,1
0,2 un + 0,4 inférieur strictement à 0,1 + 0,4 ce qui équivaut à un+1 inférieur strictement à 0,5 donc la suite (un) est majorée par 0,5.
b) 0,4 inférieur strictement à 0,48 donc un inférieur strictement à un+1
un inférieur strictement à 0,2 un + 0,4
donc la suite (un) est croissante.
c) Comme la suite un est croissante et majorée, elle est donc convergente d'après le théorème de convergence. Sa limite est donc son majorant soit 0,5.
3a) Les probabilités P(En) varient de manière monotone : soit la probabilité de En est 3/5 soit 2/5 dans les 2 cas on ne pourra pas aller plus loin.
b) On a 0,499999 \(≤\) P(En) \(≤\) 0,5 à partir de n = 6 jusqu'à n = \(+∞\) car 0,5 est la limite de la suite (un) et c'est le majorant de la suite (un) donc P(En) n'aura jamais une valeur égale à 0,5.
Cela semble juste ?
Bonne journée,
Valentin