SOS-MATH

 Bonjour à tous j'ai un dm de spe où je bloque sur les questiondes 2 et 3 questions voici l'énoncé : résoudre dans C l'equation suivante : x^2 +x+1=0 
1)  on note j la solution dont la partie imaginaire est positive . Vérifier que l'autre solution de l'equation est égale à j^2 puis calculer j^3 
J'ai trouvé  -1/2 +racine3/2i ainsi que son conjugué 
pour j^3 J'ai trouvé 1 
2) calculer j^n pour tout enier n naturel non nul: raisonner  par disjonction des cas  suivant les restes de la division euclidienne de n 
comme j^1 = -1/2 +racine3/2i
Donc pour tout k appartenantnant àN j^1k= -1/2+racine 3/2i
j^2= -1/2-racine3/2i alors pour tout k appartenant à n j^2k =-1/2-racine3/2i si n est un multiple de 2 j^n = -1/2 -racine 3/2i
j^3=1
Pour tout'k j^3k = 1
Si n multiple de 3 j^n=1
3) determiner les valeurs de n , entier  naturel non nul , pour lesquelles j est solution de l'équation: (x+1)^n -x^n -1=0 
Raisonner à disjonction des cas , selon les restes dans la division euclidiene de n par 6 
jaimerai avoir si ce que j'ai fait aux 1 et 2 est juste et si vous pourriez me guider pour le 3 je vous en serai recinnaissant

Bonjour Engue,

Pour la question 2, tu as pu remarquer que \(j^3=1\) et que \(j^2=\overline{j}\).
Calcule \(j^4\) puis \(j^5\) puis \(j^6\) ..
Quelle conjecture peux-tu alors faire ? (tu vas voir apparaitre les cas à étudier).

Pour la question 3, calcule j+1.

SoSMath.

Bonjour j'ai fait les calculs et j'ai conjecture que c'est un cycle d'ordre 3 à partir de n =2 est ce juste ? Ensuite je dois faire quoi svp ?

Pour la question 3 J'ai fait la disjonction des cas et obtenu les cycles dans la 1ere partie de la question pour trouver les n .Dois je faire de nouveau cela pour la 2eme partie de la question ?

Il faut distinguer les 3 cas pour n :
n = 3k (reste de la division de n par 3 est 0)
n = 3k + 1 (reste de la division de n par 3 est 1)
n = 3k + 2 (reste de la division de n par 3 est 2)
où k appartient à N.

Pour la question 3, trouve la forme exponentielle de \(j^{n-1}\) et \((j+1)^n\).

SoSMath.

3k =1
3k+1=-1/2+racine3/2i
3k+2 = -1-racine 3 /2i
est ce juste ? Que dois je faire après
on a pas vu la forme exponentielle en classe donc je m'y connais pas vraiment

Que fais-tu Engue ?

Si n = 3k, alors \(j^n=(j)^{3k}=(j^3)^k=1^k=1\)
Si n = 3k+1, alors …

SoSMath.

Si n = 3k+1 j^n =(j^3)^k+1=1^k+1

Si n = 3k+2 j^n =(j^3)^k+2=1^k+2
Alors on peut conclure que le reste sera tjrs de 1 non ?

Bonsoir Engue,

Il faut revoir des calculs avec les puissances : \(a^{n+p}=a^n \times a^p\).

Si n = 3k+1, alors \(j^n =(j)^{3k+1}=j^{3k} \times j^1=j\).

SoSMath.

Et donc si ' = 3k+2 Alors j^n = (j)^3k+2 = j^3k× j^2 = j^2 = -1/2- racine de 3/2i et donc en conclusion les 3 differents restes sont 1, j et -1/2- racine 3 /2i cela suffit il comme reponse ?

Oui Engue, c'est suffisant.

SoSMath.