SOS-MATH

Bonsoir,

Je bloque sur cet exercice dont voici l'énoncé:

Soit Un= ( la somme de 1/k^2 allant de k=1 à n) et Vn= Un+1/n pour tout n entier naturel non nul.
1) Montrer que Vn ⩾ Un pour tout n ⩾1.
2) Montrer que Un est une suite croissante
3) Montrer que Vn est une suite décroissante
4) En déduire que les suites Un et Vn convergent.


Pour la première question, j'ai pensé à effectuer une récurrence. Je ne sais pas si cela est judicieux et rigoureux, car nous avons le terme général de la suite Un. Je me demande donc si l'on peut transformer l'écriture de la suite avec une formule, car je vois au dénominateur une somme de la forme 0+1+2+...+n, ce que l'on peut transformer en (n(n+1))/2, mais je ne vois pas comment insérer cette formule.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonsoir Louise,

Effectivement la récurrence n'est pas une bonne méthode pour prouver que Vn ⩾ Un.
Parfois pour démontrer que a > b il faut étudier le signe de la différence de a et b.
Quel est le signe de Vn - Un ?

SoSMath.

Merci beaucoup pour votre aide!

Pour la dernière question, j'utilise le théorème de la convergence monotone, mais est-il correct de dire que Un est majorée par Vn ? Une suite croissante majorée par une autre suite peut-elle converger et vérifier le théorème?

Bonsoir Louise,

Comme (Vn) est décroissante alors pour tout n, Vn < V0
Et comme pour tout n, Vn ⩾ Un, alors V0 ⩾ Un.
Donc (Un) est majoré par V0.

SoSMath.