SOS-MATH

Bonsoir,

J'ai un DM de maths et j'ai quelques difficultés.

Voici les deux premières questions :

1. a. Construire les dix premières lignes du triangle de Pascal.
b. Dans le triangle de Pascal précédent, pour chaque valeur de l'entier n de 1 à 10, regrouper, en les entourant, tous les coefficients binomiaux qui apparaissent dans la somme Fn, qui est :

pour tout n supérieur ou égal à 1, Fn= sigma de k=0 à n-1 de (n-1-k ; k) (coefficient binomial).

J'ai réussi la question 1.a, mais je n'arrive pas du tout à répondre à la 1.b, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance, j'ai vraiment besoin d'aide...

Bonsoir Nathan,

On te demande d'entourer les coefficients binomiaux intervenant dans la somme définissant \(F_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1-k}{k}\) pour les valeurs de n allant de 1 à 10.
Prenons les valeurs de n une par une :
pour n = 1, \(F_{1}=\sum_{k=0}^{0}\binom{0-k}{k}=\binom{0}{0}=1\). Un seul coefficient binomial intervient, le coefficient "en haut" de ton triangle de Pascal
pour n = 2, \(F_{2}=\sum_{k=0}^{1}\binom{1-k}{k}=\binom{1}{0}+\binom{0}{1}=1+0=1\). Un seul coefficient binomial non nul intervient, le premier coefficient de la deuxième ligne de ton triangle de Pascal
pour n = 3, \(F_{3}=\sum_{k=0}^{2}\binom{2-k}{k}=\binom{2}{0}+\binom{1}{1}+\binom{0}{2}=1+1+0=2\). Deux coefficients binomiaux non nuls interviennent, ceux situés dans la diagonale "montante" à partir du premier coefficient de la ligne n = 2.

Je te laisse poursuivre.

SoSMath

Merci pour votre réponse, c'est très clair !

Et on demande les dix premières lignes, donc c'est jusqu'à n=10 ou n=9 ?

Plutôt n=9 ?

Pour la question 1.c, je conjecture que Fn+2=Fn+1+Fn.

Ensuite on me demande de démontrer cette conjecture.

J'essaye une récurrence double, mais je bloque sur l'hérédité...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci beaucoup.

Bonjour Nathan,

Effectivement si l'on prend en compte la ligne n = 0, il faudrait s'arrêter à n = 9.
Pour démontrer ta conjecture, on peut se passer d'une récurrence à condition que tu saches manipuler le symbole sigma et effectuer des changements d'indice dans la somme qui définit \(F_{n+1}\). Par exemple, sortir le coefficient pour k = 0, puis faire un décalage d'indice du type i = k - 1.
Ensuite, tu pourras utiliser la relation de Pascal.

Es-tu en Terminale ou dans le supérieur ?

SoSMath

Merci pour votre réponse.

Effectivement, je ne vais pas vous mentir, je viens d'entrer dans le supérieur, mais en fait ce DM porte sur des chapitres de Terminale que l'on a un peu approfondis.

Comme vous m'aviez beaucoup aidé l'année dernière en Terminale, je me suis dit que vous pourriez m'aider car je suis complètement perdu face à ce DM (qui porte sur la suite de Fibonacci, cela pourrait donc être de la Terminale quand-même...).

J'espère vraiment que vous pourrez m'aider car je panique un peu de ne pas réussir les DM, même en début d'année...

Pour démontrer la conjecture Fn+2=Fn+1+Fn, j'ai essayé toute l'après-midi des calculs en faisant intervenir la formule de Pascal, mais je n'y arrive pas, et je ne vois pas où je pourrais faire le changement d'indice dans Fn+1...

J'espère que vous pourrez m'aider.

Merci beaucoup d'avance, bonne soirée.

Bonjour Nathan,

Je vais t'aiguiller sur le changement d'indice dans Fn pour ensuite regrouper Fn+1 et Fn.

\(F_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1-k}{k}\)

En posant \(k=l-1\) :

\(F_{n}=\sum_{l=1}^{n}\binom{n-1-(l-1)}{l-1}\)

Après de légères simplifications, tu pourras regarder \(F_{n+1}+F_n\) et utiliser la relation de Pascal.

Bon courage !

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse.

Il est 3 heures du matin, je n'arrive pas à dormir, je viens de passer la journée sur ce DM, je désespère...

Je vous donne l'énoncé complet :
C'est OK pour la question 1.

Pour la question 2, voici ce que j'ai fait :

\(F_{n+1}+F_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n-k\\ k\end{pmatrix}}+\sum_{k=0}^{n-1}{\begin{pmatrix}n-1-k\\ k\end{pmatrix}}.\)

En posant l=k+1 :

\(F_{n+1}+F_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n-k\\ k\end{pmatrix}}+\sum_{l=1}^{n}{\begin{pmatrix}n-l\\ l-1\end{pmatrix}}.\)

\(F_{n+1}+F_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\left[\begin{pmatrix}n-k\\ k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-k\\ k-1\end{pmatrix} \right]}+\begin{pmatrix}n\\ 0\end{pmatrix}\)

Mais comment faire ensuite pour montrer que Fn+2=Fn+1+Fn ? Comment utiliser la formule de Pascal ? Je ne vois pas du tout...

Pour la question 3.a, j'ai : c1=1 ; c2=1 ; c3=2 ; c4=3 ; c5=5 ; c6=8. On peut conjecturer que pour tout n supérieur ou égal à 1, on a : Fn=cn.
Est-ce juste ?

Pour la question 3.b., je sens la chose mais je n'arrive pas du tout à l'expliquer... Comment faire ?

3.c et 3.d : aucune idée... J'ai cherché toute la journée et il est 3h15 du matin, je n'en peux plus... Pourriez-vous me donner un début de réponse ?

Question 4.a : je n'y arrive pas du tout non plus, je ne vois pas le lien avec la question 2... Comment pourrais-je faire ?

Merci d'avance pour l'aide, elle est indispensable...

Bonne journée.

Bonjour Nathan,

Pour la question 2, voici un rappel :

\(\begin{pmatrix}n-k\\ k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-k\\ k-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n-k+1\\ k\end{pmatrix}\).

avec cela, tu dois pouvoir démontrer ta relation.

Question3a : il y a un petit décalage …
après un mois, on a 1 couple, donc c1 = 1 = F2
après deux mois, le premier couple a engendré un nouveau couple, donc c2 = 2 = F3
Donc la conjecture est \(c_n=F_{n+1}\)

Question 3b : il faut juste expliquer avec des mots en français que \(c_{n+2}=c_{n+1}+c_n\).

Question 3c : on veut juste que tu calcules \(c_{12}\)

Question 3d : avec une récurrence tu peux montrer que pour tout \(n \geq 1\), \(c_n=F_{n+1}\).

Bon courage,
SoSMath.

Bonjour,

Merci pour votre réponse, et désolé pour le délai de réponse, mais je suis complètement perdu dans ma vie en ce moment, je ne sais pas comment je vais tenir...
Serait-il possible d'en parler ?

Concernant ce DM de maths, j'ai réussi la question 2, merci pour l'aide. C'est aussi clair pour la question 3.a. et 3.c.

En revanche, pour la question 3.b, je n'arrive pas à expliquer en français, je sens bien la chose, mais impossible de mettre des phrases claires dessus...

Pour le raisonnement par récurrence de la question 3.d, comment faire ?

L'hypothèse de récurrence est c_n=F_n+1 et on doit montrer que c_n+1=F_n+2 en sachant que c_n+2=c_n+1+c_n et F_n+2=F_n+1+F_n, mais je n'arrive pas à trouver le raisonnement, j'ai cherché toute la matinée et j'ai l'impression de perdre mon temps car les autres devoirs n'avancent pas...

Pourriez-vous m'aider ?

Merci.

Bonjour Nathan,

Je suis désolé mais mes compétences sur ce site son seulement mathématiques. Si tu as besoin de parler, essaye de voir un(e) ami(e) ou ton médecin.


Pour la récurrence, il faut faire une récurrence forte, c'est-à-dire qu'il faut ici deux hypothèses de récurrence :
Il existe un entier \(n\) tel que \(c_n=F_{n+1}\) et \(c_{n-1}=F_{n}\).

Ensuite, tu as \(c_{n+1}=c_{n}+c_{n-1}\).
Alors en utilisant tes hypothèses de récurrence, tu vas montrer que \(c_{n+1} = F_{n+2}\).

Attention, ici, pour l'initialisation, il faut vérifier les deux premiers rangs : pour n=1 et n=2 (car tu as deux hypothèses.)

SoSMath.

Merci pour la réponse.

Quelle est la différence entre récurrence forte et récurrence double ?

De plus, pourquoi faut-il vérifier les deux premiers rangs, n=1 et n=2 ?

Ce que je ne comprends pas, c'est que si on utilise dans l'hérédité le fait que Cn+1=Cn+Cn-1, il va y avoir un problème dans le cas où n=1 par exemple car on aura C0, ce qui n'est pas défini... C'est un problème de rigueur et de rédaction je pense, mais cela m'embête... Comment faire pour bien le rédiger ?

Merci encore.

Et alors c'est plutôt une récurrence forte ou une récurrence double ? Ou les 2 ?

Merci pour l'aide.

Bonsoir Nathan,

Une récurrence double c'est un cas particulier d'une récurrence forte.

SoSMath.

D'accord, donc ici on a plutôt une récurrence forte ou une récurrence double ?

De plus, pourquoi faut-il vérifier les deux premiers rangs, n=1 et n=2 ?

Ce que je ne comprends pas, c'est que si on utilise dans l'hérédité le fait que Cn+1=Cn+Cn-1, il va y avoir un problème dans le cas où n=1 par exemple car on aura C0, ce qui n'est pas défini... C'est un problème de rigueur et de rédaction je pense, mais cela m'embête... Comment faire pour bien le rédiger ?

Merci encore.

Nathan,

* tu as une récurrence double.

* il faut vérifier les deux premiers rangs, n=1 et n=2, car tu utilises une récurrence double.

* Effectivement, dans ton hypothèse de récurrence il faut prendre \(n \geqslant 2\) et non \(n \geqslant 1\).

SoSMath.