SOS-MATH

Bonsoir,
je suis bloqué sur un exercice, voici l’énoncé:
La suite (Un) est définie pour tout entier naturel n non nul par Un=n!/n^n où n!=1*2*3*...*n.
1. justifiez que pour tout entier naturel non nul n, 0<Un⩽1/n
2. quel est le comportement en +∝ de la suite (Un)

Pour le 1. j'étais parti sur une démonstration par récurrence mais je ne pense pas que ce soit qu'il faille faire.

Bonsoir Thomas,
Il est clair que la suite est strictement positive.

Je pense qu'on peut tenter une démonstration directe en écrivant \(u_n\) sous forme d'un produit particulier.
en effet, on peut écrire que \(n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1\)
et \(n^n=n \times n \times n \times ... n \times n\) ( \(n\) fois)

Quand on fait le quotient, on peut alors "séparer" numérateur et dénominateur en produit de fractions.
Reste à savoir si ces fractions peuvent être majorées ?
Je te laisse écrire et continuer le raisonnement.
à bientôt

Si je comprend bien il faut que j'écrive : n×(n−1)×(n−2)×...×2×1/n×n×n×...n×n
=n/n ( soit 1) * (n−1)×(n−2)×...×2×1/n^n
mais ensuite...?

Il faut écrire comme un produit de \(n\) fractions du type \(\frac{p}{n}\) où \(p\) sera inférieur à \(n\),
on pourra alors faire une comparaison ... je te laisse rédiger !
à bientôt