SOS-MATH

bonjour pouvez vous m'aider pour la question C.3 , D et E , je dois rendre ce dm ce mardi merci .

J'ai l"énoncé suivant :
Soit f la fonction définie sur [0;2] par
f(x) = (2x+1)/(x+1)
1. Etudier les variationsde f sur l'intervalle [0;2].

2. (un) et (vn) sont deux suites définies sur N par:
. uo=1 et pour tout n E N, un+1 = f(un)
. vo=2 et pour tout n E N, vn+1 = f(vn)
Construire le graphe de la fonction f sur [0;2] et placer sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (un) et (vn). Que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (un) et (vn) ?

b. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurence que :
.pour tout n E N, 1<vn<2 et vn+1<vn
.pour tout n E N, 1<un<2 et un<un+1

C.1
Montrer que, pour tout entier naturel n :
vn+1 - un+1 = (vn-un)/(vn+1)(un+1)
C.2
En déduire que, pour tout entier naturel n :
vn-un>0
C.3
En déduire que, pour tout entier naturel n :
vn+1-un+1< 1/4(vn-un)
D
. Montrer que pour tout n E N :
vn-un < (1/4)^n
E.
Montrer que les suites (un) et (vn) convergent vers un réel a

Bonjour Léa,

Pour la question C3 :

Tu as :

\(V_{n+1}-U_{n+1}=\dfrac{V_n-U_n}{(V_n + 1)(U_n + 1)}\)

En utilisant le fait que \(U_n > 1\) et que \(V_n > 1\), tu peux majorer \(\dfrac{1}{(V_n + 1)(U_n + 1)}\) ...

Pour la question D, en récurrence en utilisant la question 3C...

Pour la E, as-tu vu les suites adjacentes ?

Bon courage !

merci pour la C , je ne comprends toujours pas comment faire pour la D , j'ai trouver l'initialisation mais je n'arrive pas à faire l'hérédité ,
et pour la E je n'ai pas fais de suites adjacentes

Bonjour Léa,

Pour la question C3, il faut utiliser le fait que \(v_{n+1}-u_{n+1}=(u_n-v_n)\times \frac{1}{(v_{n}+1)(u_{n}+1)}\) et l'encadrement de \(u_n\) et \(v_n\).
Tu as \(1<u_n<2\) et \(1<v_n<2\). Encadre alors \((v_{n}+1)(u_{n}+1)\) puis son inverse.

Pour la question D, il faut faire une somme de 0 à n, de l'inégalité trouvée au C3.


Pour la question E, quelle théorème te permet de démontrer qu'une suite est convergente ?
Pour dire qu'elles ont la même limite utilise la question D.

SoSMath.

je ne sais pas comment faire pour majorer la C3 ? merci

Léa,

as-tu lu mon aide ?

Tu as \(1<u_n<2\), donc \(...<u_n+1<...\).
De même encadre \(v_n+1\).
Il te reste à multiplier et prendre l'inverse …

SoSMath.

je vous remercie je viens de résoudre la C3 , il me reste que la D , je ne sais pas comment utiliser l'inégalités qu'on vient de trouvé .. ou de chercher de 0 à n comme vous me l'avez dit .

Léa,

tu as pour tout entier naturel n :
\(v_{n+1}-u_{n+1}< \frac{1}{4}(v_n-u_n)\)

donc pour
n=0, \(v_{1}-u_{1}< \frac{1}{4}(v_0-u_0)\)
n=1, \(v_{2}-u_{2}< \frac{1}{4}(v_1-u_1)\)
….

n-1, \(v_{n}-u_{n}< \frac{1}{4}(v_{n-1}-u_{n-1})\)

On additionne : \(v_{1}-u_{1}\) + \(v_{2}-u_{2}\) + ... + \(v_{n}-u_{n}\) < \(\frac{1}{4}(v_0-u_0)\) +\(\frac{1}{4}(v_1-u_1)\) + ... + \(\frac{1}{4}(v_{n-1}-u_{n-1})\)


Il ter este à simplifier pour obtenir ton résultat.

SoSMath.