SOS-MATH

Bonjour,

J'ai des difficultés avec les questions suivantes d'un exercice, pour un module d'approfondissement de maths de Terminale qui vient de débuter :

Dans cet exercice, on admet que 1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n²(n+1)²]/4. Le but de cet exercice est de déterminer toutes les relations du type :

(e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3=(en+1)^3+(en+2)^3+...+(e2n)^3. e0, e1, e2, ..., e2n sont des entiers naturels consécutifs rangés dans l'ordre croissant.
Cette relation est la relation (A).

1. On définit e0, e1, e2n des entiers naturels consécutifs rangés dans l'ordre croissant vérifiant la relation (A).
a. Exprimer (e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3 et (en+1)^3+(en+2)^3+...+(e2n)^3 en fonction de e0 et de n.
b. Montrer que f(e0) = 0, avec f la fonction polynomiale suivante et n un entier naturel non nul fixé :

f : x -> x^3 - 3n²*x² - 3 n² (2n+1) x - \(\frac{n²(7n²+6n+1)}{2}\)

2. a. Dresser le tableau des variations de la fonction f en précisant les signes des extrema.
b. Soit a indice n l'entier n(3n+2). Déterminer le signe de f(a indice n) et celui de f(a indice n +1).
c. Conclure.

Voici ce que j'ai fait :

Pour la question 1.a :
J'ai dit cela : e1=e0 + 1 ; e2=e0 + 2 ; en=e0 + n;
En recherchant sur Internet l'identité remarquable du cube, j'ai écrit cela :
(e0+1)^3=(e0)^3+ + 3*e0*1² + 3*(e0)²*1+1^3.
(e0+2)^3=(e0)^3+ + 3*e0*2² + 3*(e0)²*2+2^3.

Donc, on remarque que l'on a l'égalité suivante :
(e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3 = (n+1) * (e0)^3 + [n(n+1)(2n+1)]/6 * 3 e0 + [n(n+1)]/2 * 3 (e0)² + [n²(n+1)²]/4.

Pour la deuxième partie de la question 1.a, j'ai raisonné sur le même principale, mais pour calculer (a+b)^3, je n'ai plus pris a=e0, mais plutôt a=e0+n.
En effet, peut-on dire que en+1=e0 + n + 1 ?

Si c'est vrai, voici ce que j'ai trouvé :

(en+1)^3+(en+2)^3+...+(e2n)^3=n*(e0+n)^3 + 3 (e0+n) * [n(n+1)(2n+1)]/6 + 3 (e0+n)² * [n(n+1)]/2 + [n²(n+1)²]/4.

Néanmoins, j'ai un problème avec le dernier terme en rouge, qui correspond à la somme des premiers cubes, donc on utilise la formule donnée par l'énoncé, mais j'ai un problème avec le nombre de termes de cette somme : le e indice 2n me perturbe car je n'arrive pas à savoir s'il faut mettre 2n ou n à la place de n dans la somme des premiers cubes... Si on applique la formule pour connaître le nombre de termes d'une somme "n-p+1", on a donc "2n-(n+1)+1" termes dans cette somme, c'est-à-dire n termes, donc on aurait le dernier terme en rouge dans la somme ci-dessus, mais cela me paraît étrange...
Alors qu'est-ce qui est juste ?

1.b. J'ai essayé de remplacer x par e0, mais je n'aboutis à rien, cela ne donne pas 0... Comment faire ?

2.a. Pour cela, il suffit de dériver la fonction, et voici en image le tableau de variations que j'ai obtenu. Ce tableau de variations est-il correct ? Comment trouver le signe des extremas ?

Je vous remercie d'avance beaucoup pour votre aide, j'en ai vraiment besoin et j'ai mis du temps à taper ce long message...

Bonne après-midi.

Bonsoir Benjamin,

On a effectivement \(e_{n+1}=e_0+n+1\) … mais tu as du te tromper dans le calcul de ta 2ème somme !
Tu as:
\(\sum_{i=1}^{n}(e_0+n+i)^3 = \sum_{i=1}^{n}[e_0^3+3(n+i)e_0^2+3(n+i)^2e_0+(n+i)^3]\)
Tu peux développer le crochet et faire la somme pour chaque terme.

Cependant tu as (e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3 = (en+1)^3+(en+2)^3+...+(e2n)^3.

Donc comme (e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3 = (n+1) * (e0)^3 + [n(n+1)(2n+1)]/6 * 3 e0 + [n(n+1)]/2 * 3 (e0)² + [n²(n+1)²]/4.
alors (en+1)^3+(en+2)^3+...+(e2n)^3 = (n+1) * (e0)^3 + [n(n+1)(2n+1)]/6 * 3 e0 + [n(n+1)]/2 * 3 (e0)² + [n²(n+1)²]/4.

Bon courage,
SoSMath.

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre réponse.

Pour le symbole somme que vous utilisez, pourquoi ce n'est pas de i=1 à 2n et non pas à n ?

Benjamin,

On a : \((e_0+n+1)^3 + (e_0+n+2)^3 + ....+ (e_0+n+i)^3 + ... + (e_0+n+n)^3 = \sum_{i=1}^{n}(e_0+n+i)^3\)

Donc i varie de 1 à n.

SoSMath.

Effectivement, merci beaucoup.

Mais du coup, je ne vois pas où est mon erreur dans le calcul de la deuxième expression de la question 8.a...

Le voyez-vous ?

Merci encore.

Bonjour Benjamin,

Après vérification, ton 2ème calcul est juste !

Bonne continuation,
SoSMath.

Merci beaucoup pour votre réponse, cela me rassure.

Mais j'ai encore quelques questions :

1) Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris l'écriture avec le symbole sigma, car en développant avec la distributivité sur le symbole sigma, on a notamment Sigma de i=1 à n de (e0)^3, mais cela ne dépend pas de l'indice, donc je ne comprends pas pourquoi... Pourriez-vous m'expliquer svp ?

2) Et sous quelle forme faut-il donner le résultat de cette somme ? Quelle est la forme la plus "simplifiée" pour les deux expressions de la question 8.a ?

3) Ensuite, comment faire pour la question 9 ?

Merci encore pour votre aide er bonne journée.

Benjamin,

1) effectivement \(\sum_{i=1}^{n} (e_0)^3\) ne dépend pas de \(i\) ...
mais \(\sum_{i=1}^{n} (e_0)^3 = (e_0)^3 + (e_0)^3 + ... + (e_0)^3\) (il y a \(n\) termes \((e_0)^3\)) donc \(\sum_{i=1}^{n} (e_0)^3 = n \times (e_0)^3\)

2) il n'y a pas de question 8a … je suppose que tu veux dire 2.a !
Ce que tu as écrit me semble très bien.

3) Pour le calcul de f(\(e_0\)), il faut peut-être vérifier que f(\(e_0\)) = (e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3 - [(en+1)^3+(en+2)^3+...+(e2n)^3] … ce qui donne 0.
mais je ne suis pas sûr ….

SoSMath.

Merci beaucoup pour la réponse.

Excusez-moi, ce n'était pas pour la question 8.a, mais pour la question 1.a que je ne sais pas comment simplifier la réponse au calcul de la somme...
Avez-vous une idée de simplification ou de mise au même dénominateur ?

Ensuite, selon vous, que peut-on conclure pour la dernière question ?

Merci beaucoup.

Benjamin,

je ne vois pas beaucoup plus de simplification … éventuellement :
(e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3
= (n+1) * (e0)^3 + [n(n+1)(2n+1)]/6 * 3 e0 + [n(n+1)]/2 * 3 (e0)² + [n²(n+1)²]/4
= (n+1) * (e0)^3 + [n(n+1)]/2 * 3 (e0)² + [n(n+1)(2n+1)]/6 * 3 e0 + [n²(n+1)²]/4 (rangement dans l'ordre décroissant des puissance de e0)
= (n+1) * (e0)^3 + 3[n(n+1)]/2 * (e0)² + [n(n+1)(2n+1)]/2 * e0 + [n²(n+1)²]/4 (simplification de fraction)

Pour la conclusion, je ne vois pas … es-tu sûr de ta fonction f ?
comment as-tu trouver les valeurs -n et n+2n² ? (en dérivant ta fonction f je ne trouve pas cela …)


SoSMath.

Bonsoir,

Merci beaucoup pour vos explications : grâce à cela, j'ai pu répondre à la question 1.b et à la question 2.a. J'ai trouvé les valeurs -n et n+2n² en dérivant la fonction f... Peut-être pouvez-vous revérifier vos calculs ? Car j'ai refait les miens de nombreuses fois et je retrouve cela à chaque fois...

J'ai aussi déterminé le signe de f(a) et de f(a+1) pour la question 2.b. : j'ai trouvé que f(a) est négatif, et que f(a+1) est positif. Est-ce correct ?

Par contre, je n'arrive pas du tout à faire le lien entre les questions 2.a et b pour conclure, notamment en utilisant le tableau de variations que j'ai posté dans mon premier message... Je pense aussi que nous avons vu le théorème des valeurs intermédiaires... Voyez-vous comment faire ?

Pourriez-vous me donner quelques indications pour conclure s'il vous plaît ?

Merci beaucoup d'avance.

Bonne fin de soirée.

Bonjour Benjamin,
Oui, la dérivée s'annule en - n et 2n² + n, le tableau de variation semble juste.
Si a = n(3n +2) = 3n² + 2n = 2n² + n² + n + n = 2n² + n + b avec b = n² + n.
Comme n > 0, on a b > 0 d'où a et a + 1 sont supérieur à 2n² + 2.
De plus d'après ton tableau de variation, f est strictement croissante donc f(2n² + n) < f(a) < f(a+1).
Comme f continue, strictement croissante, si f(a) < 0 et f(a+1) > 0, d'après le théorème des valeurs intermédiaires f s'annule entre a et a +1. Il faut donc faire le lien entre f et l'égalité de départ.

Merci beaucoup pour votre réponse.

En fait, je vois qu'il faut en conclure qu'il n'y a pas de solution, mais je ne vois pas comment expliquer à partir des résultats... Pourriez-vous m'aider ?

Merci beaucoup.

Puisque f est continue, et strictement continue, f(a) < 0 et f(a + 1) > 0, il existe e0 compris entre a et a + 1, tel que f(e0) = 0.

SoS-Math(9) a écrit : il faut peut-être vérifier que f(\(e_0\)) = (e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3 - [(en+1)^3+(en+2)^3+...+(e2n)^3] SoSMath.