Intégrales

[sos-math(27)]

Bonjour Thomas,
La photo est un peu floue, j'ai du mal à la lire...
La question 1) semble correcte
Pour la question 2 ), il faut établir que \(u_{n+1} -u_n\)est positif strictement, or l'intégrale d'une fonction positive est positive !
Il faut donc expliquer pourquoi : \(\frac{1}{1+x+x^{n+1}}-\frac{1}{1+x+x^{n}}\) est positif
Je te donne le début :
Comme \(x\) appartient à [0 ;1], alors on aura \(x^{n+1} < x^n\) .... je te laisse terminer le raisonnement
à bientôt

[Thomas]

Bonjour,

Désolé pour ce petit temps d'absence, j'ai réussi à montre que Un est croissante (voir photo) mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est majorée.
Comment faire ?

Merci d'avance de vos explications.

[SoS-Math(30)]

Bonjour Thomas,

As-tu vraiment terminé le raisonnement pour la question 2 ?
Si, comme tu l'as écrit, on avait \(\frac{1}{1+x+x^{n+1}}<\frac{1}{1+x+x^{n}}\) alors la différence sous l'intégrale serait négative et contredirait le résultat attendu.
Ne saute pas les étapes...
Comme on te l'a rappelé, \(x^{n+1}<x^{n}\) puisque \(0\leq x\leq 1\).
Ainsi \(1+x+x^{n+1}<1+x+x^{n}\).
Puis, on "passe à l'inverse", autrement dit, on applique la fonction inverse aux membres de l'inégalité (ce qu'on a le droit de faire puisque les membres sont strictement positifs).
Que devient alors l'inégalité ?
Je te laisse reprendre cela.

Ensuite pour montrer la majoration, on utilise le fait que, comme \(x\geq 0\), \(1+x+x^{n}\geq 1\).

SoSMath

[Thomas]

Bonsoir,

J'ai corrigé mon argumentation, pour montrer que la suite (Un) est croissante.
Cependant, je n'ai pas compris la démarche pour montrer qu'elle est majorée.
Voici ce que j'ai commencé.

A bientôt !

[SoS-Math(30)]

Bonsoir,

Ton argumentation pour la croissance de la suite me semble incomplète.
Il t'a été dit

Pour la question 2 ), il faut établir que \(u_{n+1} -u_n\)est positif strictement, or l'intégrale d'une fonction positive est positive !
Il faut donc expliquer pourquoi : \(\frac{1}{1+x+x^{n+1}}-\frac{1}{1+x+x^{n}}\) est positif

Tu as vu comment l'on justifiait \(\frac{1}{1+x+x^{n+1}}-\frac{1}{1+x+x^{n}}\) est positif.
Tu dois ensuite écrire qu'alors l'intégrale de cette expression positive est donc aussi positive.

Ensuite pour la majoration, on procède de la même manière, tu justifies que \(1-\frac{1}{1+x+x^{n}}\geq 0\).
Puis tu utilises la même propriété qu'au-dessus : l'intégrale d'une fonction positive est positive.
Ainsi \(\int_{0}^{1}1-\frac{1}{1+x+x^{n}}dx\geq 0\).
La propriété de linéarité de l'intégrale donne alors \(\int_{0}^{1}1dx - \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x+x^{n}}dx\geq 0\).
Je te laisse finir.

SoSMath

[Thomas]

Bonsoir,

Faut-il faire cette démarche, pour montrer que la suite est majorée.
Je pense qu'elle est un peu courte ...

[SoS-Math(30)]

Avant de considérer l'intégrale, peux tu justifier que \(1-\frac{1}{1+x+x^{n}}\geq 0\) ?

SoSMath

[Thomas]

Désolé, mais je ne vois pas comment justifier cela ...

Pouvez-vous me donner une piste ?

[SoS-Math(33)]

Bonjour Thomas,
sur [0 ; 1] \(x \geq 1\) donc \(x^n \geq 1\) ainsi tu peux dire que \(1+ x+ x^n \geq 1\)
je te laisse poursuivre

[Thomas]

Bonjour,

J'ai réussi à démontrer votre dernière remarque, cependant je n'arrive pas à continuer ...

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Thomas,

Le début de ton calcul est juste. A la dernière ligne par contre , il manque l'inégalité...
Calcule alors la première intégrale...
Pour rappel, A - B > 0 équivaut à A > B.

Bonne recherche
Sosmaths

[Thomas]

Bonjour,

Je pense avoir suivi vos conseils, mais je n'arrive pas à répondre la question 3.
Pouvez-vous m'aider.
Merci d'avance.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Thomas,

Il y a plusieurs façons d'écrire ln 2 sous forme d'une intégrale. Celle que tu as choisi est correcte mais ne va pas te permettre d'avancer.
Rester sur l'intervalle [0;1] est la bonne piste.
Maintenant, il faudrait intégrer une fonction h dont l'expression h(x) est "proche" de 1/(1+x+x^n) mais indépendante de n (puisque ln 2 ne dépend pas de n)...

Je te laisse y réfléchir,
Bonne recherche

Sosmaths

[Thomas]

Bonjour,

J'ai essayé de suivre vos remarques, mais je n'ai pas pu finir. Je n'ai pas trouvé la limite et je ne suis pas sûr pour mon expression.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance de vos nouvelles explications.

[SoS-Math(34)]

Cette dernière étape est difficile car on ne connaît pas de primitive de la fonction h située sous le symbole intégrale.
Il faut donc procéder différemment, en trouvant une fonction plus simple à laquelle se raccrocher.
la valeur absolue de ton intégrale est inférieur ou égale à l'intégrale de la valeur absolue de h(x).
Il te reste à majorer h(x), pour cela, vu que x est dans l'intervalle [0;1], je te propose de minorer le dénominateur
(1+x)(1+x+x^n).

Bonne recherche
sosmaths