Récurrence sur une exponentielle

[Thomas]

Bonjour,

Vous trouverez ci-joint l'exercice et ma réponse.
Comme vous pouvez le voir je n'arrive pas à terminer ma récurrence.
Je ne vois pas comment continuer.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Thomas,

Quelles opérations vas-tu faire pour calculer \(u_{n+1}\) en partant de \(u_n\) ?

Applique ces opérations à ton hypothèse de récurrence \(u_n\) > 0 ...

SoSMath.

[Thomas]

Suite à vos remarques, j'ai commencé une nouvelle récurrence, mais je ne suis pas très sûr, qu'elle soit vrai.

[SoS-Math(9)]

C'est très bien Thomas.

SoSMath.

[Thomas]

Je continue à faire l'exercice, mais je n'arrive pas à finir la question 2.

Voici ce que j'ai commencé à faire.

[SoS-Math(9)]

Thomas,

c'est un bon début, il faut maintenant utiliser une propriété de ln avec une racine carrée ...

SoSMath.

[Thomas]

Je continue l'exercice mais je ne vois pas comment simplifier mon résultat de la question 3.
En effet, je ne vois pas comment me débarrasser du ln, sans passer par le exponentielle ...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Thomas,

Tout d'abord tes photos sont illisibles ... essaye de faire un effort dans ta prise de vue.
Ensuite l'objectif n'est pas de se "débarrasser" du ln ...
Tu veux montrer que \(v_{n+1}\)= q \(v_n\) = q(ln(\(u_n\)) - 2).

SoSMath.

[Thomas]

Bonjour,

Voici une photo, plus claire, je n'arrive toujours pas à répondre à la question 3.

[SoS-Math(9)]

Thomas,

j'ai corrigé toutes tes erreurs sur ta feuille ....
Effectivement, il faut prendre exponentielle pour trouver \(u_n\).

SoSMath.

[Thomas]

Je continue l'exercice, mais pour la question 4, je ne vois pas comment simplifier exp (0,5^n + 2).

[SoS-Math(9)]

Thomas,

il faut utiliser les propriétés sur les exponentielles .... \(e^{a+b}=\) ....
Regarde dans ton cours pour retrouver cette propriété.

SoSMath.

[Thomas]

Suite à vos remarques, j'ai fini la question 3.
Cependant, je n'arrive pas à répondre à la question 4, car lim e^0,5n = l'infini ?

[SoS-Math(9)]

Thomas,

ta limite est une limite de référence .... \(\lim_{n \to +\infty} q^n = ...\) regarde dans ton cours.

SoSMath.

[Thomas]

Est ce cette justification ?