Fonction exponentielle

[SoS-Math(33)]

Oui il faut dériver la fonction auxiliaire puis étudier son signe, ce qui donnera le signe du numérateur de la dérivée.

[Thomas]

J'ai fait le tableau de variation, mais je ne vois pas comment finir la question ...

[SoS-Math(33)]

Il y a une erreur dans le calcul de la dérivée.
\((e^x-1-xe^x)' = e^x-(e^x+xe^x)= e^x-e^x-xe^x= -xe^x\)

[Thomas]

Je ne comprends pas le passage de la première à la deuxième étape. Pouvez vous détailler ?

[SoS-Math(33)]

\((e^x)' = e^x\)
\((xe^x)'\) forme \((uv)' = u'v+v'u\) avec \(u=x\) donc \(u'=1\) et \(v=e^x\) donc \(v' = e^x\)
donc \((xe^x)' = e^x +xe^x\)

[Thomas]

J'ai fait un tableau de variation correct mais je ne vois pas comment continuer.

[SoS-Math(33)]

D'après ton tableau de variation la fonction a un maximum qui est égal à 0 donc la fonction est négative.
Cette fonction étant le numérateur de ta fraction tu en déduis le signe de la fraction donc de la dérivée.

[Thomas]

Est-ce tableau de variation car d'après ma calculatrice il n'est pas correct ?

[SoS-Math(33)]

Tu as \(f(x) = \frac{x}{e^x-1}\)
qui donne \(f'(x) = \frac{e^x-1+xe^x}{(e^x-1)^2}\)
tu as étudié \(e^x-1+xe^x\) et tu as trouvé que c'était \(\leq0\)
donc tu en déduis que \(f'(x)<0\) ce qui donne que \(f\) est décroissante sur \(R\)

[Thomas]

C'est bien ce que je trouve, elle est décroissante !

Je ne comprends pas pourquoi le mode GRAPH de ma calculatrice me montre que la fonction est croissante.

[SoS-Math(9)]

Thomas,

tu as du te tromper lorsque tu a entré l'équation de f.

SoSMath.