Fonction exponentielle

[sos-math(27)]

As tu calculé \(f(\sqrt {\frac{\alpha}{2}})\) ?
Comme \(f(x)=x^2- \alpha ln(x)\), il faut remplacer \(x\) par \(\sqrt {\frac{\alpha}{2}}\) et chercher à simplifier l'écriture pour rechercher le signe (le mieux sera d'utiliser la propriété que je t'avais donnée et de factoriser )
à bientôt

[Thomas]

Bonjour,

N'ayant pas su comment utiliser cette propriété dans l'équation j'en ai utilisé une autre.
Cependant je ne vois pas comment continuer ...

[SoS-Math(31)]

Bonjour Thomas,
0,5 = 1/2. Tu peux donc factoriser l'expression, que tu as trouvé par alpha/2.
Si alpha >0 alors alpha/2 aussi le signe de f(racine(alpha/2) est le même que 1 - ln(alpha/2).
Essayes maintenant que résoudre 1 - ln(alpha/2) > 0 pour trouver ce signe.

[Thomas]

Je pense avoir trouvé le bon résultat mais je n'ai pas compris la factorisation ...
Pouvez-vous m'expliquer ?

[SoS-Math(34)]

Pour la factorisation, alpha/2 = 0,5 alpha donc tu peux factoriser ta dernière ligne par 0,5alpha... ce qui est exactement ce que tu as fait : (alpha/2)* (1 - ln(alpha/2)).

Rappel : depuis le collège, tu sais que pour tous réels a, b et c on a a(b+c) = ab+ ac.
passer du membre de gauche à celui de droite, c'est développer.
de droite à gauche, c'est factoriser... et ton facteur commun est a.

dans ton exemple : alpha/2 - (alpha/2)(ln(alpha/2)) = (alpha/2)*1 - (alpha/2)*(ln(alpha/2))= (alpha/2)* (1 - ln(alpha/2)).

J'ai donc l'impression que tu as bien compris!
Sosmaths

[SoS-Math(34)]

Quant à ton inéquation, et ta question était peut-être plutôt sur ce point que sur la factorisation, tu peux construire un tableau de signe de f(alpha) selon les valeurs de alpha:
* une pour alpha/2 (signe très simple, relis l'énoncé)
* l'autre pour 1 - ln(alpha/2)... tu viens de voir que c'est positif pour x < 2e, donc tu peux aussi conclure sur les signes à placer sur cette ligne
* la dernière ligne est celle du produit f(alpha). comme f(alpha) est le minimum de ta fonction, connaître son signe te permettra de conclure.
En effet, si f a un minimum positif sur l'intervalle I, alors f est positive sur I.

Bonne recherche
Sosmaths

[Thomas]

Bonsoir,

Je comprends mieux la démarche maintenant ...

Je fais un nouvel exercice, sur les fonctions exponentielles, mais je n'arrive pas à montrer que la fonction est continue.
Voici mon début de réponse et l'exercice.

A bientôt.

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Thomas,

Il faut étudier la limite en 0 de f(x) et montrer que tu obtiens la même valeur que f(0), c'est à dire 1 ici.
Pour cela, utiliser la définition du nombre dérivé :
https://www.youtube.com/watch?v=UmT0Gov6yyE

Je t'invite à regarder toute la vidéo et plus attentivement le théorème affiché au bout de 5 min.

Bonne recherche
sosmaths

[Thomas]

Bonsoir,

Je ne vois pas comment le théorème peut m'aider.
J'ai commencé à le faire, et je me rends compte qu'on a h / e^0 -1.
Or on ne peut pas résoudre cela ...

[SoS-Math(34)]

Bonsoir,

Par exemple, si f(x) = x², alors la limite de (x² - 1)/(x-1) = (x²-1²)/(x-1) qui est en fait (f(x) - f(1))/(x - 1) est égale à f'(1) car f est dérivable en 1. ici f'(x) = 2x donc f'(1) = 2...ce qui permet de trouver la limite quand x tend vers a = 1 de (x²-1)/(x-1) alors qu'à priori il s'agit d'une forme indéterminée (numérateur et dénominateur tendent vers 0).

A toi de faire de même avec ici, f(x) = exp(x) et la limite en a = 0.

Bonne recherche

[Thomas]

Bonsoir,

Je ne suis pas sûr de comprendre vos explications. Voici ce que j'en ai compris ...

[SoS-Math(30)]

Bonsoir Thomas,

C'est la dérivabilité en 0 de la fonction exp que l'on te conseille ici d'utiliser.
D'ailleurs, peut-être as-tu montré cette limite dans ton cours sur la fonction exponentielle ? Vérifie.
Comme la fonction exp est dérivable en 0 cela signifie que \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{exp(x)-exp(0)}{x-0}=exp'(0)\).
Autrement dit, \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\).
Et cela te permet de justifier la continuité de la fonction f de ton exercice.

SoSMath

[Thomas]

Bonjour,

Je continue l'exercice, mais je bloque à la question 3, mon x pour lequel la fonction dérivée change de signe n'est pas possible.
De plus, je ne suis pas sûr d'avoir répondu à la question 1 et d'avoir utiliser la bonne fonction.

Merci en attendant.

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
il y a une erreur dans la résolution de ton inéquation au passage de la seconde ligne à la troisième.
Il te faut utiliser l'indication donnée à la question, à savoir étudier la nouvelle fonction qui correspond au numérateur de la dérivée.

[Thomas]

Bonjour,

Faut-il que je dérive la fonction auxiliaire donné à la question 3, ou trouver le signe de e^x(x-1) > 1, dans ce cas je ne vois pas comment faire.