SOS-MATH

Bonsoir,

J'essaie de faire cet exercice (voir photo) mais je suis bloqué à la question, la récurrence, voici mes réponses mais je n'arrive pas à continuer.

Merci d'avance de votre aide.
A bientôt !

Bonsoir Thomas,
le début est correct ensuite il te faut faire le calcul pour \(ln(A^{p+1})\)
\(ln(A^{p+1}) = ln(A^p \times A)\)
\(=ln(A^p)+ln(A)\)
\(=pln(A)+ln(A)\)
\(=(p+1)ln(A)\)
l’hypothèse de récurrence est vérifiée.

Bonsoir,

Merci de votre aide, je pense avoir fini l'exercice, mais je ne sais pas si ma rédaction est suffisante à la question 3.
Merci de votre aide.

A bientôt

Bonjour,

Voici la photo que j'ai oublié

Bonjour,
il y a beaucoup plus court :
\(ln(A)=ln(\sqrt{A}^2)\)
\(ln(A)=2ln(\sqrt{A})\) d'après la propriété *
d'où \(ln(\sqrt{A}) = \frac{1}{2}ln(A)\)

Bonsoir,

J'ai essayé de faire un nouvel exercice sur une récurrence, mais je bloque sur l'hérédité ...
Voici l'exercice et mes réponses

Bonjour Thomas,

Tout d'abord la propriété ne commence pas à 0 .... car pour n=3 : n² = 9 > 2^3 = 8.
Il faut trouver le n0.

Pour la récurrence, tu pars de ton hypothèse \(n^2 \leq 2^n\) donc en multipliant par 2, on obtient \(2n^2 \leq 2 \times 2^n = 2^{n+1}\).
Il te reste à prouver que \((n+1)^2 \leq 2n^2\). Pour cela étudie le signe de \((n+1)^2 - 2n^2\).

SoSMath.

Bonjour,

A vrai dire, je ne vois pas comment trouver le n0, à part à la calculatrice ... ? Comment faire ?

Merci d'avance

Thomas,

Dans ta récurrence, tu vas montrer que (n+1)² ≤ 2n² pour n >= 3.
Donc pour n >= 3, (n+1)² ≤ 2n² ≤ \(2^{n+1}\).
D'où \(n_0=4\).

SoSMath.

Bonjour,

Je ne suis pas sûr d'avoir compris vos remarques, je vous donne en pièce-jointe ce que je pense à avoir compris ...

Merci de votre aide.

Thomas,

9 > 8 ... donc \(n_0\) n'est pas égale à 3 !

Ensuite il faut démontrer que (p+1)² <= \(2^{n+1}\) ... il ne suffit pas de l'écrire !
Je t'ai donné la méthode pour le démontrer. Reprend mes messages.

SoSMath.

Bonjour,

J'ai relu vos anciens messages, mais je ne les comprends pas.
Je vous donne la photo de ce que je pense avoir compris.

Merci de votre aide.

Bonjour Thomas,

Visiblement tu n'as pas bien compris le raisonnement par récurrence.
Voici un site qui pourra t'aider à mieux comprendre :
http://www.jaicompris.com/lycee/math/suite/suite-recurrence.php.

SoSMath.

Bonsoir,

Merci pour votre site, j'ai un peu mieux compris mais je n'arrive pas à finir ... Je ne sais pas comment continuer

Bonjour Thomas,

C'est un bon début.
Tu as montré que \(2p^2 \leq 2^{p+1}\) et tu veux montrer que \((p+1)^2 \leq 2^{p+1}\).
Donc il faut montrer que \((p+1)^2 \leq 2p^2\).
Pour cela il faut étudier le signe du trinôme \((p+1)^2 - 2p^2\).

SoSMath.