DM maths complexe

[Marine]

Bonjour, j'ai un DM à faire pour la rentrée et j'ai des doutes sur 2 questions (la 1 et la 3) du 1er exercice. Si vous pouviez m'expliquer, je vous en remercie d'avance.

Enoncé :
Dans le plan muni d'un RON (0, u, v), on considère les points A,B,C d'affixes respectives
za = 1-2i, zb = i, zc = 3+2i

1) Placer A,B,C. Calculer (zc-zb)/(za-zb) sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. En interprétant géométriquement son module et son argument en déduire la nature de ABC

Dans cette question, je ne suis pas sûre de la forme exponentielle obtenue. J'avais essayé d'une autre manière mais je n'ai pas réussi à l'obtenir. Je ne sais pas si mon interprétation est correcte ( je vous joins la réponse en pièce jointe, ce sera plus lisible )

2) Soient M' et M les points d'affixes respectives z' = (z-1+2i)/(z-i) et z avec z différent de i

a) On pose z = x + iy et z' = x'+ iy'
Calculer x' et y' en fonction de x et y (on montre que x'= (x^2+y^2+y-x-2)/(x^2 +(y-1)^2)

b) Déterminer l'ens E des pts M d'affixe z tels que z' appartient à R

c) Déterminer l'ens F des pts M d'affixe z tels que z' appartient à iR

Pour ces questions, je pense avoir réussi, je voudrais juste savoir si je n'ai pas fait d'erreur. C'est plutôt la question suivante qui me pose problème

3) En utilisant les points A et B et le point d'affixe z, exprimer géométriquement arg(z').
Retrouver les résultats des questions b) et c) .
Quel est le sous ensemble F ' de F tel que z' soit un imaginaire pur de partie imaginaire négative.

Je ne vois pas comment exprimer géométriquement l'argument. j'ai effectué une démonstration comme nous avions fait en classe pour retrouver les résultats précédents, mais je ne sais pas si elle est correcte. Je ne sais pas comment m'y prendre pour trouver le sous ensemble .

4) Calculer z'-1 puis montrer que [z'-1] * [z-i] = racine de 10 ( les crochets sont pour les modules )
En déduire que si M appartient au cercle de centre B et de rayon, racine de 5 alors M' appartient à un cercle dont on indiquera le centre et le rayon

Je pense avoir réussi cette question , je voudrais juste être sûre que c'est la bonne méthode pour y arriver

Je vous joint les réponses par pièces jointes, pour que ce soit plus lisible

Merci pour votre aide

[SoS-Math(34)]

Bonjour Marine,

Ce que tu as écrit est tout à fait correct pour la question 1.

[SoS-Math(34)]

Pour la question 3 : " En utilisant les points A et B et le point d'affixe z, exprimer géométriquement arg(z')."
Il s'agit de voir que arg(z') = arg \(\frac{z-zA}{z-zB}\) correspond à la mesure d'un angle orienté... à toi de trouver lequel.
Pour t'aider, je te rappelle que arg\(\frac{zD-zC}{zB-zA}\) = \((\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} )\) à 2\(\pi\) près.

[SoS-Math(34)]

Pour la suite du 3) -je viens de m'apercevoir que je n'y avais pas répondu-
Un complexe est un imaginaire pur équivaut à dire que la partie réelle de ce complexe est nulle.
ici z' imaginaire pur si et seulement si Re(z')=x' = 0.
Utilise alors l'expression de x' que tu as mise en évidence au 2)a) pour trouver la réponse attendue...

[Marine]

Bonjour, merci d'avoir répondu aussi vite.
Pour la 3), arg (z-za)/(z-zb) = (MB;MA). Dans la réponse jointe à l'énoncé, j'ai montré que que l'arg (z') = arg (i) c'est à dire π/2
Est ce que c'est ça ?
La démonstration que j'ai faite pour la question 3 est elle la bonne pour trouver les résultats des questions b et c ?

A la question 2c), j'ai déjà résolu l'équation x'= 0 pour trouver les points M appartenant à iR mais je ne sais pas comment faire pour trouver le sous ensemble tel que z' soit un imaginaire pur de partie imaginaire négative

Je vous joins les réponses aux questions 2 a), b) et c). Je vous en remercie d'avance

[SoS-Math(31)]

Bonjour Marine,
arg(z') est l'angle entre les vecteurs BM et AM.
Attention i est bien un imaginaire pur mais sa partie imaginaire est 1 donc positive.

[Marine]

Bonjour, merci d'avoir répondu
Comment je fais pour déterminer l'angle (BM;AM) géométriquement ? Je n'ai pas l'emplacement de M
Et comment dois-je faire pour déterminer le sous ensemble F ' de F ?
S'il vous plaît, Merci d'avance

[SoS-Math(34)]

arg(z') est une mesure de l'angle \((\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM})\).
z' est un réel signifie que arg(z') = 0 modulo \(\pi\) ou si tu préfères :
arg(z') = 0 modulo 2\(\pi\) ou arg(z') =\(\pi\) modulo \(\pi\)
Autrement dit, les vecteurs \(\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont colinéaires. Que peut-on en déduire pour le point M?

Effectue un raisonnement analogue pour le 2)c).

[SoS-Math(34)]

"Et comment dois-je faire pour déterminer le sous ensemble F ' de F ?"

utilise l'expression de y' = Im(z').
Tu veux avoir y' < 0. Le numérateur de y' étant positif, y' < 0 équivaut à 3x + y - 1 < 0 .
Isole y pour avoir une inégalité de la forme y < mx + p...
les points recherchés sont donc les points de F situé "sous" une droite... dont tu donneras l'équation réduite.

voir l'image en pièce jointe.

[SoS-Math(34)]

F ' est un sous-ensemble de F donc une partie du cercle que tu avais mis en évidence.
à toi de voir quelle partie du cercle convient ici, grâce à l'explication précédente et au graphique joint.

Bonne recherche

[Marine]

Rebonjour, merci pour votre réponse.
Si j'ai bien compris, quand z' appartient à R , arg(z') = 0 modulo π
Donc ça revient à (z-za)/(z-zb) = k (k appartenant au réel)
donc (z-za) = k (z-zb)
MA = k MB
Donc les vecteurs MA et MB sont colinéaires, donc le point M appartient à la droite (AB)

Pour obtenir le même résultat que le 2c) on fait
z' appartenant à iR, arg (z') = π/2 (π)
ça revient à arg (z-za/z-zb) = π/2
arg(z-za) - arg (z-zb) = π/2
(OU, AM) - (OU, BM) = π/2
(OU, AM) + (BM, OU) = π/2
(BM,OU) + (OU,AM) = (BM,AM) = π/2
(MB,MA) = π/2
On obtient l'angle AMB = π/2, donc la triangle AMB est rectangle en M.
Les points M se situent donc sur le cercle de diamètre [AB]

Pour déterminer le sous ensemble :

Les points m sont imaginaires purs de partie imaginaire négative quand y'<0
Cela revient à 3x +y -1 < 0
y < -3x +1
Les points M doivent se situer sous la droite y= -3x+1

Ce serait le demi cercle AB situé en dessous de la droite ?

[SoS-Math(34)]

Je réponds dans ton message, c'est plus simple, en modifiant quelques détails, tu as compris l'essentiel :

Si j'ai bien compris, quand z' appartient à R , arg(z') = 0 modulo π
Donc ça revient à (z-za)/(z-zb) = k (k appartenant au réel)
donc (z-za) = k (z-zb)
MA = k MB
Donc les vecteurs MA et MB sont colinéaires, donc le point M appartient à la droite (AB) (privé du point B : zB valeur interdite pour le quotient z' et du point A car z' = 0 n'a pas d'argument

Pour obtenir le même résultat que le 2c) on fait
z' appartenant à iR, arg (z') = π/2 (π)
ça revient à arg (z-za/z-zb) = π/2 (on peut passer directement à la ligne suivante, c'est du cours)
(MB,MA) = π/2
On obtient l'angle AMB = π/2, donc la triangle AMB est rectangle en M.
Les points M se situent donc sur le cercle de diamètre [AB] (privé des points A et B)

Pour déterminer le sous ensemble :

Les affixes des points m sont imaginaires purs de partie imaginaire négative quand y'<0
Cela revient à 3x +y -1 < 0
y < -3x +1
Les points M doivent se situer sous la droite y= -3x+1

Ce serait le demi cercle de diamètre [AB] situé en dessous de la droite ?

[Marine]

Bonjour, merci pour votre aide
Je voulais savoir si pour la question 4, est ce qu'on doit trouver que M' appartient au cercle de centre I (1;0) et de rayon racine de 2 ? Encore merci.

[SoS-Math(30)]

Bonjour Marine,

Oui il s'agit bien de ce cercle.

SoSMath

[Marine]

Bonjour, merci pour votre aide
Bonne journée.
Cordialement.