SOS-MATH

Pour coder un message, on traduit d'abord chaque lettre en son équivalent numérique : le A=0, B=1,..., Z=25.

Soit \((E)\) l'ensemble des entiers naturels compris entre 0 et 25.

On définit le système de codage à l'aide de la transformation \(f\) suivante :

Si \(x \in E\) alors \(x\)\(\longrightarrow\)\(y\) où \(y\) est le reste de la division euclidienne de \(ax+b\) par 26, \(a\) et \(b\) entiers de \(E\) et \(a \neq 0\).

Exemple : Pour coder la lettre P avec \(a = 2\) et \(b = 3\), on procède de la manière suivante :

- étape 1 : on lui associe l'entier n = 15.
- étape 2 : le reste de la division de \(2 \times 15 + 3 = 33\) par 26 est 7.
- étape 3 : on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H.

1) Que dire alors du code obtenu lorsque l'on prend \(a = 0\) ?

2) a) Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l'on choisit \(a = 13\). En quoi est-ce un problème ?

b) Existe-t-il d'autres valeurs de \(a\) pour lesquelles on a le même problème ?

3) Dans toute la suite de l'exercice, on prend \(a = 5\) et \(b = 2\).
a) On considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers \(n\) et \(p\).
Montrer, que si \(5n+2\) et \(5p+2\) ont le même reste dans la divison par 26, alors \(n-p\) est un multiple de 26.
En déduire que \(n = p\). Que peut-on en conclure ?

b) Coder le mot NOEL.

4) On se propose de décoder la lettre \(E\).
a) Montrer que décoder la lettre \(E\) revient à déterminer l'élément \(n\) de \(\Omega\) tel que \(5n-26y=2\), où \(y\) est un entier.

b) Déterminer un couple \((n ; y)\) solution de l'équation précédente avec \(0 \leq n \leq 25\).

c) Décoder alors la lettre E.

5) Décoder le mot VUSWYN.

1) Si \(a=0\), alors pour tout \(n\), \(an+b=b\). Toutes les lettres de l'alphabet sont associées au même nombre donc elles seront codées par la même lettre correspondant au reste de la division de \(b\) par 26.

2) a) A et C sont respectivement associées à \(b\) et \(26+b\), ils ont le même reste modulo 26. En effet :

\(A = 0\) \(\longrightarrow\) \(13\times0+b=b\) \(\longrightarrow\) \(\frac{b}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=b\)
\(C = 2\) \(\longrightarrow\) \(13\times2+b=26+b\) \(\longrightarrow\) \(\frac{26+b}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=b\)

A et C sont codées par la même lettre si \(a=13\).

C'est un problème car on ne peut pas faire de distinction de codage entre les lettres A et C. Chaque lettre constituant le mot peut correspondre à plusieurs lettres.

b) Si on prend \(a=2\), \(2x+b\equiv r(mod.26)\) et que \(x=13\) on a \(26+b\equiv r(mod.26)\), comme \(26\equiv 0(mod.26)\) alors \(26+b\equiv b(mod.26)\) et donc \(r\equiv b(mod.26)\).
Si \(x=0\), on a \(2\times0+b\equiv r(mod.26)\) soit aussi \(r\equiv b(mod.26)\). Donc, si \(a=2\) on a aussi un problème.

3) a) On a :

\(5n+2\equiv 5p+2(mod.26)\)
\(5n\equiv 5p(mod.26)\)
\(n\equiv p(mod.26)\) car 5 est premier avec 26
\(n-p\equiv 0(mod.26)\)

Si \(5n+2\) et \(5p+2\) ont le même reste dans la division euclidienne par 26 alors \(n-p\) est un multiple de 26.

On a :

\(0 \leq n \leq 25\)
\(-25 \leq -p \leq 0\)

Donc \(-25 \leq n-p \leq 25\)

Or, le seul et unique multiple de 26 entre -25 et 25 est 0, donc \(n-p=0\) soit \(n=p\).

Si on prend \(a=5\) et \(b=2\), chaque lettre code une lettre distincte. De plus, si \(a \neq D(26)\) alors chaque lettre code une lettre distincte.

b) \(N = 13\) \(\longrightarrow\) \(5\times13+2=67\) \(\longrightarrow\) \(\frac{67}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=15\) \(\longrightarrow\) \(15=P\)

\(O = 14\) \(\longrightarrow\) \(5\times14+2=72\) \(\longrightarrow\) \(\frac{72}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=20\) \(\longrightarrow\) \(20=U\)

\(E = 4\) \(\longrightarrow\) \(5\times4+2=22\) \(\longrightarrow\) \(\frac{22}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=22\) \(\longrightarrow\) \(22=W\)

\(L = 11\) \(\longrightarrow\) \(5\times11+2=57\) \(\longrightarrow\) \(\frac{57}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=5\) \(\longrightarrow\) \(5=F\)

Le mot NOEL, codé avec \(a=5\) et \(b=2\) nous donne PUWF.

4) a) E correspond à 4.
Ainsi, la lettre codée E correspond à un nombre \(n\) tel que :

\(\Longleftrightarrow 5n+2\equiv 4(mod.26)\)
\(\Longleftrightarrow 5n-2\equiv 0(mod.26)\)
\(\Longleftrightarrow 5n-2 = 26y\) où y est un entier relatif
\(\Longleftrightarrow 5n-2=26y\)
\(\Longleftrightarrow 5n-26y=2\)

b) A l'aide de la calculatrice, le couple \((16;3)\) est solution de \(5n-26y=2\) où y est un entier relatif et \(0 \leq n \leq 25\).

c) D'après la question 4) b), la lettre dont le code est E est la lettre associée à 16 c'est-à-dire la lettre Q.

5) \(V=21 \longrightarrow 5n+2-26y=21 \longrightarrow (n;y)=(9;1) V\longrightarrow J\)
\(U=20 \longrightarrow 5n+2-26y=20 \longrightarrow (n;y)=(14;2) V\longrightarrow O\)
\(S=18 \longrightarrow 5n+2-26y=18 \longrightarrow (n;y)=(24;4) V\longrightarrow Y\)
\(W=22 \longrightarrow 5n+2-26y=22 \longrightarrow (n;y)=(4;0) V\longrightarrow E\)
\(Y=24 \longrightarrow 5n+2-26y=24 \longrightarrow (n;y)=(20;3) V\longrightarrow U\)
\(N=13 \longrightarrow 5n+2-26y=13 \longrightarrow (n;y)=(23;4) V\longrightarrow X\)

VUSWYN code pour le mot JOYEUX (quelle coïncidence).