SOS-MATH

Bonjour,

J'ai un problème de spé maths à chercher pour la rentrée et qui sera sûrement noté.
Rassurez-vous, je ne compte pas attendre les réponses - bien au contraire, je chercherai à comprendre.

Thème : Matrices.

Le but de cet exercice est de calculer les puissances d'une matrice donnée de deux façons différentes.

On note A = \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad\)

Première méthode :

1) a) Calculer A²-5A.

A²-5A = \(\begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \quad\)

b) En déduire que A est inversible et donner \(A^{-1}\) en fonction de A.

D'après le cours, on dit que A est inversible si et seulement s'il existe une matrice carrée B d'ordre \(n\) telle que AB = BA = \(I_n\).
En effet, A²-5A * A = 0 ce qui signifie que A est inversible.

\(A^{-1}\) = \(\begin{pmatrix} 0,75 & -0,25 & -0,25 \\ -0,25 & 0,75 & -0,25 \\ -0,25 & -0,25 & 0,75 \end{pmatrix} \quad\)

Jusqu'à là, qu'en pensez-vous ?

Bonjour Pierre,

Tes résultats sont corrects. Les as-tu bien trouvés par le calcul ou à l'aide de la calculatrice ?
Pour la question 2, dans la consigne, on te demande d'exprimer \(A^{-1}\) en fonction de A ce qui ne correspond pas à ta réponse.
Grâce à la question précédente, tu as montré que \(A^{2}-5A=-4I_{3}\). L'avais-tu perçu ?
Autrement dit \(-\frac{1}{4}(A^{2}-5A)=I_{3}\).
Maintenant, en factorisant par A dans le membre de gauche, tu vas pouvoir identifier \(A^{-1}\) en fonction de A.
Je te laisse poursuivre.

Si tu as des difficultés pour effectuer les calculs de la question 1, dis le nous.

SoSMath

Bonjour SoS-Math(30),

Je vous remercie de m'avoir répondu.

J'ai trouvé les résultats à l'aide de la calculatrice mais je sais les retrouver "manuellement".

b) Exprimons \(A^{-1}\) en fonction de A.

A² - 5A = -4\(I_3\)
-0,25(A²-5A)
-0,25A²+5/4A
A(-0,25A+5/4)

Bonjour,
attention quand tu factorises avec des matrices c'est un peu différent qu'avec les nombres :
\(A^2-5A=-4I\) donc on a bien \(-0,25(A^2-5A)=I\) et on peut effectivement factoriser par \(A\) : \(A(-0,25A+1{,}25\color{red}{I})=I\) : tu avais oublié la matrice unité \(I\) qui joue le rôle du 1 des nombres dans la multiplication matricielle : \(A=A\times I\).
Donc \(A\) est inversible et son inverse est égale à \(\ldots\).
Bonne continuation

Bonjour,
je te cite :

En effet, A²-5A * A = 0 ce qui signifie que A est inversible.

attention, le fait d'avoir un produit égal à 0 ne prouve pas l'inversibilité : il faut que l'on ait un produit \(AB=I\)
Donc le fait d'avoir établi \(A(-0,25A+1,25I)=I\) prouve que ta matrice est inversible et son inverse est \(A^{-1}=-0,25A+1,25I\)
Est-ce plus clair ?

Bonsoir,

A nouveau, je vous remercie de m'avoir répondu.

C'est désormais clair, je n'avais pas très bien compris la notion d'inversibilité.

Bonsoir,
tant mieux si désormais c'est plus clair. Cette notion est importante pour la résolution de systèmes d'équations à l'aide de matrices.
Bonne continuation

Bonsoir,

Vous trouverez ci-dessous la suite de l'exercice :

2) Montrer par récurrence qu'il existe deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que \(A^n = a_nA+b_nI_3\).

On montrera en particulier que :

\(a_{n+1} = 5a_n+b_n b_{n+1} = -4a_n\)

Une fois de plus, recevoir la réponse ne m'intéresse pas du tout. Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?

Bonne soirée.

Pierre B.

Bonsoir,

Effectivement, on prouve cela par récurrence.
Pour effectuer un tel raisonnement, on commence par observer le comportement des premiers termes. Ici, il s'agit d'observer les puissances de A en fonction de A et de \(I_{3}\).
On a : \(A^{0}=I_{3}\) donc \(a_{0}=0\) et \(b_{0}=1\).
Puis \(A^{1}=A\) donc \(a_{1}=1\) et \(b_{1}=0\).
Ensuite, grâce à la question, on a \(A^{2}\) en fonction de A et de \(I_{3}\). Peux-tu exprimer cette relation et en déduire \(a_{2}=0\) et \(b_{2}=1\) ?

Avec cela, tu as plus qu'il ne faut pour réaliser l'étape d'initialisation de la récurrence.
Pour réaliser l'étape de "l'hérédité", tu vas avoir besoin d'exprimer \(A^{n+1}\) sous la forme de \(A^{n} \times A\), d'utiliser l'hypothèse de récurrence et l'expression de \(A^{2}\) en fonction de A et de \(I_{3}\).

Tu obtiendras "automatiquement" les formules \(a_{n+1}=5a_{n}+b_{n}\) et \(b_{n+1}=-4a_{n}\) au cours de l'étape "d'hérédité".

Si l'étape de l'hérédité n'est pas encore assez claire, tu peux essayer d'exprimer \(A^{3}\) en fonction de A et de \(I_{3}\). Cela pourra t'aider à percevoir "l'hérédité".

SoSMath

Je vous avoue que je trouve ça pas évident du tout.

\(A^2 = a_2A + b_2I_3\)
\(A^2 = 5A - 4I_3\)

OK. \(a_{2}=5\) et \(b_{2}=-4\).

Si tu veux voir avec \(A^{3}\), tu décomposes \(A^{3}\) en \(A^{2} \times A\)...

Pour la récurrence, peux-tu commencer à la mettre en forme ? Quelle est la proposition à démontrer ? En quoi consiste l'initialisation ? Quelle est l'amorce de la rédaction pour l'étape d'hérédité ?

SoSMath

Démonstration par récurrence :

Soit la propriété \(P_n\) telle que « \(A^n = a_nA + b_nI_3\) ».

Initialisation : pour \(n\) = 0, on a :

\(A^0 = a_0A + b_0I_3\)
\(A^0 = I_3\)

Ce qui est vrai puisque la matrice A à la puissance 0 est égale à la matrice identité. De ce fait, \(P_0\) est vraie.

Hérédité :

Supposons la propriété \(P_n\) telle que « \(A^n = a_nA + b_nI_3\) » comme étant vraie pour un entier naturel \(n\).
Démontrons que la propriété \(P_{n+1}\) telle que « \(A^{n+1} = a_{n+1}A + b_{n+1}I_3\) » est également vraie.

\(A^{n+1} = A^n \times A\)
\(A^{n+1} = a_nA + b_nI_3 \times \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad\)

C'est bien Pierre pour le début.
Reprenons les deux dernières lignes : \(A^{n+1}=A^{n}\times A\).
D'après l'hypothèse de récurrence, \(A^{n}=a_{n}A+b_{n}I_{3}\).
Ainsi \(A^{n+1}=(a_{n}A+b_{n}I_{3})\times A\). Tu avais oublié les parenthèses autour de l'expression de \(A^{n}\).
A cette étape, il te suffit de "distribuer" la matrice A sur l'expression \(a_{n}A+b_{n}I_{3}\).
Je te laisse poursuivre.

SoSMath

Je développe :

\(A^{n+1} = (a_nA + b_nI_3) \times \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad\)

ou \(A^{n+1} = (a_nA + b_nI_3) \times A\)