SOS-MATH

Bonsoir, pouvez bon m'aider pour l'exercice suivant :

1/ déterminer selon les valeurs de n, les restes de la division de 5^n par 13. ( je trouve si n=4k : 1 si n=4k+1 : 5 si n=4k+2 : 12 si n=4k+3 : 8)

2/ en déduire que 2020^2017-5 est divisible par 13.

Là je bloque.

3/ Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N=31^(4n+1)+18^(4n-1) est divisible par 13.

Je n'y arrive pas non plus.

J'espère que vous pouvez m'aider.

Bonjour,
Il faut commencer par décomposer le nombre 2020 en faisant apparaître un facteur 5 dans le but de se servir de la propriété précédente :
\(2020=5\times 404\), or \(404\equiv 1 [13]\) donc en élevant à la puissance 2017, on a \(404^{2017}\equiv 1^{2017}\equiv 1 [13]\).
Je te laisse ensuite utiliser la propriété précédente sur \(5^{2017}\) et tu pourras conclure l'exercice.
Pour le deuxième, c'est du même ordre, il faut partir des congruences modulo 13 des facteurs \(31\equiv 5\,[13]\) et \(18\equiv 5\,[13]\).
Il suffit ensuite encore une fois d'appliquer le résultat que tu as obtenu.
Bonne rédaction