SOS-MATH

voilà, j'ai un problème pour une question:

2° Dans chaque boîte de gâteaux de chocolat, il y a une belle image... Tiffany en fait la collection. Il y a en tout k images, alors Tiffany se demande combien de boîtes de gâteaux en chocolat elle va devoir en acheter en moyenne pour avoir toute la collection.

On considérera que chaque image a une probabilité d'apparition de 1/k d'être présente dans chaque paquet de gâteaux. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de paquets de gâteaux qu'il a fallu acheter pour avoir la collection complète.

a) Déterminer E(X) lorsque k=2.

Je pense que X peut prendre toutes les valeurs d'entiers naturels de 2 (au minimum) jusqu'à l'infini (si on n'a pas de bol, on tombe tout le temps sur la même image)!

donc j'ai pensé, que la probabilité est \(n (1-0,5)^{n-2} 0,5\) où \(n\) est le nombre de gateau qu'il faut acheter est

on aurait alors \(E(X)= \sum_{n=2}^{\infty} n (0,5)^{n-1}\)

après est-ce que c'est bon? si ça l'est comment calculer cette somme?

b) Déterminer E(X) lorsque k=3.

merci pour votre aide

Remarque: la question précédente, portait sur le dénombrement (montrer que \(\sum_{k=1}^n k \binom{n}{k}=n2^{n-1}\))

Bonsoir,


Effectivement X peut prendre toutes les valeurs entières supérieures ou égale à 2.
Il faut absolument faire un arbre de toutes les possibilités( ou au moins le commencer puisqu'il est infini). Faites cet arbre, au moins pour l'achat des 4 premières boites de chocolat. Vous verrez que certaines branches se poursuivent, d'autres s'arrètent lorsque les 2 images ont été trouvées.

Vous me donnez une probabilité( oui , mais de quoi ?). De toute façon votre nombre est supérieur à 1, donc c'est certainement faux. C'est l'arbre qui va vous permettre de calculer la probabilité de l'évènement : " J'ai gagné mes 2 images, après avoir acheté n boites" qui est l'évènement "X=n"
Par exemple l'observation de l'arbre montre que P(X=2)=0.5²+0.5²=0.5
Pour P(X=3)=\(0.5^3+0.5^3\)

Je vous laisse maintenant faire votre arbre et continuer.
remarque : c'est un problème que vous pouvez aussi simuler sur un tableur.
sosmaths

en réalité j'ai fait une erreur de frappe, c'est un multiplié "fois" et non un "+"

Je parlais de la probabilité que tiffany ait les deux images au bout de \(k\) boites acheté
selon moi, elle serait de \(P(X=n)=n\times(1-0,5)^{n-2}\times0,5\) (j'ai multiplié puisqu'il s'agit de répétition d'épreuves aléatoires ou indépendantes)

on aurait ainsi, \(E(X) = \sum_{n=2}^{+\infty} n 0,5^{n-1}\). Comment calculer cette somme.?

Bonjour,

Tu dis :
"Je parlais de la probabilité que tiffany ait les deux images au bout de k boites acheté"

Ce n'est pas la même chose que :
"Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de paquets de gâteaux qu'il a fallu acheter pour avoir la collection complète."

En effet, si elle achète 5 boîtes et qu'elle a eu les deux images dès le 2ème achat, Tiffany aura bien les deux images au bout de 5 boîtes achetées, mais il ne lui aura fallu que 2 boîtes pour avoir ses 2 images.

Donc soit l'énoncé est faux ou mal recopié, soit tu ne le comprends pas comme il doit être compris, mais il y a un point à éclaircir.

Selon l'énoncé tel que tu l'as écris, je confirme ce que mon collègue t'a déjà dit.

à bientôt.