SOS-MATH

Bonjour,
cela fait maintenant un petit moment que j'essaye de résoudre cet exercice mais je n'y arrive pas du tout...
si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de main ça serait genial

Bonjour Marie,

Pour la première question, si tu décomposes un peu \(u_{n}\), tu vois qu'il s'agit de la somme de 1 avec des nombres pairs. Donc \(u_{n}\) est impair.
En effet dans 2!, dans 3!, dans 4!, etc... 2 est en facteur. Donc 2! + 3! + 4! + ... + n! est divisible par 2.

Ensuite pour montrer que \(u_{n}\) n'est pas divisible par 5, tu peux constater que ce n'est effectivement pas le cas pour les premiers termes donnés.
Plus généralement, si tu décomposes \(u_{n}\) pour \(n\geq 5\), tu as \(u_{n} = 1 + 2 + 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 2\times 3 \times 4 \times 5 + 2\times 3 \times 4 \times 5 \times 6 + ...\). A partir du 5ème terme de la somme, 5 est en facteur. On a ainsi \(u_{n}=33+5\times k\) ce qui n'est pas divisible par 5.

Je te laisse essayer de poursuivre.

SoSMath

Merci beaucoup grâce à votre réponse j'ai reussi à démontrer que ce n'est pas divisible par 7 et que c'est divisible par 11 à partir du rang 10 et aussi divisible par 3^2 à partir du rang 5 mais par contre comment démontrer que ce n'est pas divisible par 3^3, car avec ce raisonnement je montrant que c'était vrai pour le rang du diviseur et qu'on y ajouté le Un précédent et je montrait que le Un précédent était ou non divisible par le diviseur. Mais si je fais cette technique la il faudrait que je montre que U26 n'est pas divisible par 3^3, mais il faut calculer jusqu'au rang 26... est ce qu'il y aurait une manière plus simple de procéder ?

Bonjour,
tu peux faire le même raisonnement : à partir de quel rang le nombre \(n!\) contient le facteur \(3^3\)? Pour cela, il faut qu'il contienne en facteur, les 3 premiers multiples de \(3\) : 3, 6 et 9. Donc à partir du rang 9, les factorielles \(n!\) contiennent le facteur \(27=3^3\).
Donc on peut donc écrire pour \(n\geqslant 9\), \(u_n=1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+27\times K=u_8+27\times K\).
Il te reste à vérifier que \(u_8\) n'est pas divisible par 27.
Bon courage