SOS-MATH

bonjour, je suis en train de fairfe un exercice de spé mais je suis bloquer pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

1) (n+1)^3
= (n+1)^2x(n+1)
= (n^2+1+2n)(n+1)
= n^3+3n^2+3n+1

et
n^2(n+3)+3n+1
= n^3+3n^2+3n+1
donc (n+1)^3=n^2(n+3)+3n+1


2) --> si 3n+1 est le reste alors (n+1)^3 = k(n+3)+(3n+1) soit k= n^2 donc oui il peut être le reste de la division.
Cependant je ne sais pas comment faire pour trouver les valeurs de n.
--> si 3n+1 est le reste alors (n+1)^3= kn^2+3n+1 soit k = n+3 donc oui il peut être le reste.
Là non plus je ne sais pas comment trouver les valeurs de n.

Pouvez vous m'aider s'il vous plait?
merci d'avance
alice

Bonjour,
je te rappelle la condition sur le reste pour qu'une écriture du type \(a=bq+r\) soit l'écriture de la division euclidienne de \(a\) par \(b\).
Il faut que le nombre \(r\) vérifie \(0\leqslant r<b\) : c'est-à-dire qu'il faut avoir enlevé le maximum de fois \(b\) dans \(a\) (car si \(r\geqslant b\), on peut enlever encore au moins une fois \(b\) dans \(r\)).
Donc ici, \(3n+1\) reste de la division euclidienne de \((n+1)^3\) par \(n+3\) implique \(3n+1<n+3\) cela donne des conditions sur \(n\).
Même chose pour l'autre question
Bonne continuation

Daccord donc
--> si 3n+1 est le reste alors (n+1)^3 = k(n+3)+(3n+1) soit k= n^2 donc oui il peut être le reste de la division.
or, on sait que le reste de la division doit être compris entre 0 et n+3. Donc
3n+1<n+1
3n+1-n-3<0
2n-2<0
2n<2
n<1
de plus, le reste supérieur a zero donc
0<3n+1
-3n<1
n<-1/3
donc les valeurs possible de n sont tous les entier n compris entre -1/3 et 1.

--> si 3n+1 est le reste alors (n+1)^3= kn^2+3n+1 soit k = n+3 donc oui il peut être le reste.
or, on sait que le reste de la division doit être compris entre 0 et n^2. Donc
3n+1<n^2
-n^2+3n+1<0

delta =13 donc n1= (3+racine(13))/2 et n2= (3-racine(13))/2

n -l'infinie (3-racine(13))/2 (3+racine(13))/2 + l'infinie
-n^2+3n+1 - 0 + 0 -


or, le reste doit être supérieur a 0 donc les valeur possible de n sont comprise entre (3+racine(13))/2 et +l'infinie.



voilà, es-ce cela qu'il fallait trouver?
merci

Bonjour,
tes réponses manquent de clarté : travaille par implication
si 3n+1 est le reste de la division euclidienne de \((n+1)^3\) par \(n+3\) alors \(0\leqslant 3n+1<n+3\), alors cela implique que n<1
D'ailleurs tu fais une erreur dans ta résolution :

-3n<1
n<-1/3 : tu divises par -3, ce qui change le sens de l'inégalité donc n>-1/3

Ceci dit, c'est inutile de résoudre cette inéquation car \(n\) est positif donc \(3n+1\leqslant 0\) pour tout entier nature \(n\).
Donc n=0 est la seule solution, et on a bien 1=0\times 3+1.
Pour la seconde question tu es amenée à résoudre \(3n+1<n^2\) soit \(n^2-3n-1>0\) (équivalente à ton inéquation)
Tes calculs semblent corrects, il faut juste voir à quoi cela correspond pour des entiers \(n\leqslant \ldots).
Bonne conclusion