SOS-MATH

Bonjour,
je suis en spé maths et notre professeur nous a donné un dm à faire pour demain sur lequel je bute complètement

1) Prouver que pour tout n appartenant a N\{0,1,2,3}, n! >= 2^n

Pour cela j'ai commencé par dire que Pn : n! >= 2^n ensuite j'ai initialisé avec P(4) je trouve bien que 4! > 2^4
Ensuite pour l'hérédité on suppose que pour un certain n on a n! > 2^n et après je bloque.... Je sais qu'on doit faire avec n+1 mais 2^(n+1) = 2^n x 2 donc est-ce que ca fait 2n! ou alors (n+1)!

2) Prouver que pour tout n appartenant a N\{0,1} (1-(1/2²))(1-(1/3²)....(1-(1/n²))=(n+1)/2n
La j'ai initialisé avec n=2 et ca fonctionne mais je n'arrive pas a trouvé l'hypothèse de récurrence....

Merci infiniment de votre aide :)

Bonsoir Ines,
1) Prouver que pour tout n appartenant a N\{0,1,2,3}, n! >= 2^n

Ines a écrit :Bonjour,
je suis en spé maths et notre professeur nous a donné un dm à faire pour demain sur lequel je bute complètement

1) Prouver que pour tout n appartenant a N\{0,1,2,3}, n! >= 2^n

Pour cela j'ai commencé par dire que Pn : n! >= 2^n ensuite j'ai initialisé avec P(4) je trouve bien que 4! > 2^4
Ensuite pour l'hérédité on suppose que pour un certain n on a n! > 2^n

jusque la c'est correct,
il te faut multiplier par (n+1) de chaque côté.
d'où (n+1)!\(\geq\)(n+1)2^n comme tu sais que n \(\in\) N\{0,1,2,3} tu as n>2 donc (n+1)2^n>2x2^n c'est à dire 2^(n+1) et tu obtiens ta récurrence au rang (n+1) : (n+1)! \(\geq\) 2^(n+1)

2) Prouver que pour tout n appartenant a N\{0,1} (1-(1/2²))(1-(1/3²)....(1-(1/n²))=(n+1)/2n
Pour ton hypothèse tu as (1-(1/2²))(1-(1/3²)....(1-(1/n²))=(n+1)/2n
tu veux ensuite montrer que c'est valable au rang n+1 c'est à dire (1-(1/2²))(1-(1/3²)....(1-(1/n²))(1-(1/(n+1)²))=(n+2)/2(n+1)
Tu pars donc de (1-(1/2²))(1-(1/3²)....(1-(1/n²))=(n+1)/2n et tu multiplies de chaque côté par (1-(1/(n+1)²)) et ensuite il te faut calculer le membre de droite que tu obtiens à savoir : [(n+1)/2n]x[(1-(1/(n+1)²))]

Je te laisse faire le calcul