SOS-MATH

Bonjour je suis Fanny et je suis en terminal, j'ai un devoir maison a faire et je suis bloquer a une question .
Pour la a j'ai mis qu'on peut conjecturer que 8 divisé (n+2)(2n+2)^2 pour n congru 2 (mod8) et n congru 0 (mod8)

Cependant pour la question b , j'ai essayer de remplacer n dans l'égalité par 0 et 2 mais cela ne me donne rien et je ne vois pas du tout comment faire.
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci davançe
Fanny

Bonjour Fanny,

Je ne suis pas d'accord avec ta conjecture au sens où elle n'est pas complète. (Si n est congru à 3 mod 8 alors \((2n+2)^2(n+2)\) est aussi disible par 8...)

Pour la conjecture, j'observerai plutôt les 4 dans les restes de la division euclidienne de \((2n+2)^2\) par \(n+2\)

Pour démontrer cette conjecture, il faudrait démontrer que :

\((2n+2)^2 = k(n+2)+4\) où k est un entier pour n plus grand que 2.

Bon courage

Ré bonjour,
Alors pour la conjecture on peut conjecturer que 8 divisé (n+2)(2n+2)^2 pour tout n congru a 0 1234567 ?

Et pour la démonstration j'ai :
(2n+2)^2=k(n+2)+4
4n^2+4+12n=Kn+2k+4
4n^2 +12n = Kn +2k
n(4n+12) = kn+2k

Mais je suis bloquer je vois pas comment faire après ?
Fanny

Ré bonjour,
Alors pour la conjecture on peut conjecturer que 8 divisé (n+2)(2n+2)^2 pour tout n congru a 0 1234567 ?

Et pour la démonstration j'ai :
(2n+2)^2=k(n+2)+4
4n^2+4+12n=Kn+2k+4
4n^2 +12n = Kn +2k
n(4n+12) = kn+2k

Mais je suis bloquer je vois pas comment faire après ?
Fanny

Bonjour,
il faut que tu arrives à transformer \((2n+2)^2\) et le mettre sous la forme \(k(n+2)+4\) ce qui prouvera pour \(n\geqslant 3\) que le reste de la division de \((2n+2)^2\) par \((n+2)\) est égal à 4.
Commence par développer \((2n+2)^2\) à l'aide d'une identité remarquable ; tu l'as fait mais tu as fait une erreur, il faut trouver : \((2n+2)^2=4n^2+\underline{8n}+4\), il te reste à factoriser les deux premiers termes pour obtenir une forme \(k(n+2)+4\).
Est-ce plus clair ?

Bonjour, donc j'ai fais ça

(2n+2)^2
=4n^2 +4 +8n
=4n(n+2)+4
Donc a est de le forme bq + r
Donc on a démontré la conjecture

Mais es ce que la conjecture est bien que 8 divise (n+2)(2n+2)^2
Merci d'avance
Fanny

La conjecture n'est pas que que 8 divise (n+2)(2n+2)^2 ...

La conjecture, d'après ton tableur, est que le reste de la division euclidienne de \((n+2)^2\) par \(n+2\) est 4 si \(n \geq 3\).

Je te conseille de remettre toutes ces idées bien en place car c'est cela que tu viens de démontrer.

A bientôt

D'accord merci j'ai compris
Donc pour tous n supérieur ou égale a 3, le reste de la division euclidienne de (2n+2)^2 par n+2 est 4

Donc après je fais la démonstration
A bientôt
Fanny

C'est cela.

A bientôt