SOS-MATH

Bonjour, voici mon sujet d'exercice.

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=1/4x^2+2
Soit (Un la suite définie pour tout entier n par Un+1=f(Un)= 1/4Un^2 et Uo=3

1.Conjucturer le sens de variation et la limite de la suite (Un)
2. Montrer que pour tout réel x, on a f(x)>= x+1
3. En déduire que, pour tout entier n, on a Un+1-Un>= 1
et d'autres questions.

J'ai dit pour la question 1 que le sens de variation de la suite est croissant et que sa limite semble tendre vers + l'infini.
2. J'ai essayé de faire une inégalité mais je ne tombe pas sur le résultat à trouver. Faut-il utiliser une autre méthode et ou je me suis trompé quelque part?

Merci de votre aide

Bonjour,
pour démontre cette inégalité, tu peux étudier le signe de la différence \(g(x)=\dfrac{1}{4}x^2+2-(x+1)=\dfrac{1}{4}x^2-x+1\).
Cette fonction \(g\) est une fonction polynôme du second degré dont tu peux étudier le signe à l'aide du discriminant.
Je te laisse étudier cela.
Une fois que tu auras obtenu l'inégalité tu pourras l'appliquer à un terme quelconque de la suite \(f(u_n)\geqslant u_n+1\) donc \(.....-....\geqslant 1\).
Ce qui prouvera que ta suite est strictement croissante.
Bon courage

Merci beaucoup de votre aide, j'ai trouvé la réponses à la question :).

A bientôt sur le forum
SoS-math

Rebonjour, encore moi

La question trois est de déduire que pour tout entier n, on a Un+1-Un>= 1.
Je me suis dit qu'il fallait remplacer les x par Un mais je me retrouve coincer ici:

Un+1-Un>=1
1/4Un^2+2-Un>=1

Je ne sais pas par quoi remplacer le Un

Merci de l'aide.

Bonjour,
ton idée est la bonne mais tu es pas parti dans la bonne direction,
à la question 2) tu viens de montrer que f(x) >= x + 1
Tu as Un+1 = f(Un)
donc f(Un) >= Un + 1
d'où Un+1 >= Un + 1
Je te laisse terminer

Je vous remercie.

Bonne journée
A bientôt sur le forum
SoS-math