suites
Posté : sam. 16 sept. 2017 17:37
Bonjour,
je suis quelque peu bloqué sur un exercice. Ce pourquoi je sollicite votre aide, bienveillante j'en suis sûr. En outre, j'ai besoin que vous m'aidiez pour les questions 4) et 6) puis que vous me donniez votre avis (positif j'espère bien^^ ) sur les autres questions. Voici l'exercice en question :
"Soit (Un) la suite définie par Uo=0 et, pour tout n appartenant à N, Un+1= (3Un+2)/(Un+4)
- On considère la fonction f définie sur l'intervalle I=[0;1] par f(x)= (3x+2)/(x+4).
1- Une première question d'ordre graphique où je suis sûr de moi !
2-Etudier les variations de f sur I=[0;1].
Pour ce faire, j'ai procédé ici de la manière suivante:
j'ai calculé la dérivée de la fonction f qui est de la forme f(x)=u/v onn dérive en conséquence soit : f'(x)=(u'v-v'u)/v^2
on obtient f'(x)= 10 / (x+4)^2
le dénominateur est un carré donc >0
et le numérateur est =10 >0
Donc f'(x)>0 sur R/{-4}
On en déduit le tableau de variations de f ainsi on a f croissante sur R/{-4} et donc sur [0;1] f est croissante.
3-Démontrer que pour tout x e [0;1] on a f(x) e [0;1].
Ici, j'ai procédé ainsi:
0<x<1
or f est croissante sur [0;1] (cf. question 2)
donc les images sont rangées dans le même ordre soit
f(0)<f(x)<f(1)
on utilise la fonction et on calcule les images : (2/4)<f(x)<(5/5) ce qui équivaut à (1/2)<f(x)<1
Or, (1/2)=0.5>0 donc pour tout x e [0;1] on a bien f(x) e [0;1]
4- Démontrer que pour tout n e N, 0 ≤ Un ≤ 1.
Voilà... c'est ici que je bloque... parce qu'en outre on repasse ici sur la suite et l'on ne nous donne que la forme définie par récurrence, et il me semble tout de même très compliqué comme démarche que de passer par une conjecture de la forme explicite, puis de la démontrer par récurrence uniquement pour remplacer Un dans la double inégalité.
J'attends donc ici un petit conseil ^^
5- Démontrer que pour tout n e N, Un+1 - Un = [(1-Un)(Un+2)] / (Un +4 )
ici, je procède comme suit:
Comme Un+1= (3Un+2)/(Un+4) Alors, Un+1 - Un = (3Un+2)/(Un+4) -Un
on calcule, je finis par trouver la forme attendue soit Un+1 - Un = [(1-Un)(Un+2)] / (Un +4 ) donc tout va bien !
6- en déduire le sens de variation de la suite (Un)
Ici, étant donné que n e N on peut dire que Un+4 au dénominateur est >0 mais pour le numérateur je suis seulement capable de dire que (1-Un)(Un+2) est ≥ 0
c'est là que je me demande si l'on peut dire que (Un) est croissante seulement si je ne peux prouver que la différence Un+1 -Un est seulement ≥0.
Voilà c'est tout ^^
je me doute que ça fait beaucoup à regarder et à lire et qu'étant samedi en fin d'après midi vous n'avez probablement guère le courage de vous lancer à mon secours toutefois si d'aventure vous venez me secourir vous aurez droit à un très grand MERCI ^^
Cordialement
Florian
Terminale S
je suis quelque peu bloqué sur un exercice. Ce pourquoi je sollicite votre aide, bienveillante j'en suis sûr. En outre, j'ai besoin que vous m'aidiez pour les questions 4) et 6) puis que vous me donniez votre avis (positif j'espère bien^^ ) sur les autres questions. Voici l'exercice en question :
"Soit (Un) la suite définie par Uo=0 et, pour tout n appartenant à N, Un+1= (3Un+2)/(Un+4)
- On considère la fonction f définie sur l'intervalle I=[0;1] par f(x)= (3x+2)/(x+4).
1- Une première question d'ordre graphique où je suis sûr de moi !
2-Etudier les variations de f sur I=[0;1].
Pour ce faire, j'ai procédé ici de la manière suivante:
j'ai calculé la dérivée de la fonction f qui est de la forme f(x)=u/v onn dérive en conséquence soit : f'(x)=(u'v-v'u)/v^2
on obtient f'(x)= 10 / (x+4)^2
le dénominateur est un carré donc >0
et le numérateur est =10 >0
Donc f'(x)>0 sur R/{-4}
On en déduit le tableau de variations de f ainsi on a f croissante sur R/{-4} et donc sur [0;1] f est croissante.
3-Démontrer que pour tout x e [0;1] on a f(x) e [0;1].
Ici, j'ai procédé ainsi:
0<x<1
or f est croissante sur [0;1] (cf. question 2)
donc les images sont rangées dans le même ordre soit
f(0)<f(x)<f(1)
on utilise la fonction et on calcule les images : (2/4)<f(x)<(5/5) ce qui équivaut à (1/2)<f(x)<1
Or, (1/2)=0.5>0 donc pour tout x e [0;1] on a bien f(x) e [0;1]
4- Démontrer que pour tout n e N, 0 ≤ Un ≤ 1.
Voilà... c'est ici que je bloque... parce qu'en outre on repasse ici sur la suite et l'on ne nous donne que la forme définie par récurrence, et il me semble tout de même très compliqué comme démarche que de passer par une conjecture de la forme explicite, puis de la démontrer par récurrence uniquement pour remplacer Un dans la double inégalité.
J'attends donc ici un petit conseil ^^
5- Démontrer que pour tout n e N, Un+1 - Un = [(1-Un)(Un+2)] / (Un +4 )
ici, je procède comme suit:
Comme Un+1= (3Un+2)/(Un+4) Alors, Un+1 - Un = (3Un+2)/(Un+4) -Un
on calcule, je finis par trouver la forme attendue soit Un+1 - Un = [(1-Un)(Un+2)] / (Un +4 ) donc tout va bien !
6- en déduire le sens de variation de la suite (Un)
Ici, étant donné que n e N on peut dire que Un+4 au dénominateur est >0 mais pour le numérateur je suis seulement capable de dire que (1-Un)(Un+2) est ≥ 0
c'est là que je me demande si l'on peut dire que (Un) est croissante seulement si je ne peux prouver que la différence Un+1 -Un est seulement ≥0.
Voilà c'est tout ^^
je me doute que ça fait beaucoup à regarder et à lire et qu'étant samedi en fin d'après midi vous n'avez probablement guère le courage de vous lancer à mon secours toutefois si d'aventure vous venez me secourir vous aurez droit à un très grand MERCI ^^
Cordialement
Florian
Terminale S