pgcd

[Cédric]

Bonjour,
a-t-on bien l'équivalence suivante : pgcd(x;y) <=> pgcd(x²;y²) ?
j'ai démontré l'implication <= par contraposée en supposant qu'il existe un diviseur stricte de x et y et alors il serait aussi diviseur stricte de x² et y².
J'ai démontré l'implication => en décomposant en facteurs premiers x et y sachant que les nombres premiers intervenant dans la décomposition de x et de celle de y sont tous distincts. Il en sera de même pour x² et y².
Est-ce correct ?
Merci bien,
C.

[SoS-Math(31)]

Bonjour Cédric,
On parle d'équivalence entre deux affirmations (proposition) mais entre deux entiers, il s'agit sans doute d'une égalité .
Ton est raisonnement si d est un diviseur commun à x et y alors d divise x² et y² est bon mais il entraine que le pgcd (x,y) divise le pgcd (x² ; y²).
Il faut montrer la réciproque c-à-d si pgcd(x²;y²) divise pgcd(x;y) ensuite on pourra en déduire l'égalité.

[Cédric]

Bonjour,
je voulais dire :
a-t-on bien l'équivalence suivante : pgcd(x;y)=1 <=> pgcd(x²;y²)=1 ?
j'ai démontré l'implication <= par contraposée en supposant qu'il existe un diviseur strictement supérieur à 1 de x et y et alors il serait aussi diviseur strictement supérieur à 1 de x² et y².
J'ai démontré l'implication => en décomposant en facteurs premiers x et y sachant que les nombres premiers intervenant dans la décomposition de x et de celle de y sont tous distincts. Il en sera de même pour x² et y².
Est-ce correct ?
Merci bien,
C.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Cédric,

Cela me parait correct.

Bonne continuation.
SoSMath.