SOS-MATH

Bonjour,

Sur une annales (Liban 2016) => http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Liban_S_31_mai_2016.pdf exercice 2

A la question 1, qui me demande la probabilité qu'on ai 10 balles à droites. Je répondrai 0,500 ce qui me semble le plus logique
Sauf que d'après la correction, il faut utiliser la loi binomiale et on trouve P(X=10) = 0,176
Sauf que je ne comprend pas du tout pourquoi car il y a bien autant de chance d'avoir 10 balles à gauche et 10 balles à droite (ou 11 et 9) mais pourquoi 0,176 ?

Merci de votre aide

Bonjour,
Ton raisonnement est basé sur une modélisation fausse : si tu pars du principe que 10 balles à droite correspondent à une probabilité de 0,5, quelle sera la probabilité de 9 à gauche et 11 à droite ? En fait il y a bien plus d'issues que cela et le rapport 10-10 n'est qu'une issue parmi d'autres.
Si tu y réfléchis bien tu peux avoir les ratios 0-20, 1-19, 2-18,.....: ce qui fait 21 éventualités qui ne sont pas équiprobables.
Le fait de répéter 20 fois l'épreuve signifie qu'il y a \(2^{20}=1\,048\,576\) issues possibles différentes (nombres de chemins d'un arbre de probabilités) et qu'il faut compter tous les chemins qui mènent à 10 succès : il y en a \(\binom{20}{10}=184\,756\) ce qui donne bien une probabilité de \(0,176\).
On peut plus simplement considérer que cette expérience consiste à répéter 20 fois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre de succès \(p=0,5\) et donc on calcule la probabilité de l'événement \((X=10)\) : \(P(X=10)=\binom{20}{10}\times 0,5^{10}\times 0,5^{10}\approx 0,176\).
D'une manière générale, il ne faut pas se fier à son bon sens en probabilité, l'intuition peut être mauvaise conseillère... Il vaut mieux se fier à des modèles éprouvés (loi binomiale,...).
Est-ce plus clair ?

Merci de votre réponse,

Pourquoi ce n'est pas le rapport 10-10 que l'on cherche ?
Que signifie "qui mène à 10 succès" ? Parce que si il y a 10 balles à droite on en a forcément 10 à gauche ?

Je crois que je ne comprend pas exactement ce qu'on cherche...

Bonjour Baptiste,
Chaque balle est soit à droite, soit à gauche avec la probabilité p = 1/2. On est alors en présence d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 1/2. On répète l'épreuve n =20 fois (car il y a 20 balles) de façon indépendante. La variable qui compte le nombre de succès suit alors une loi binomiale de paramètre n= 20 et p =1/2.

Bonjour,
Merci de votre réponse,
J'ai bien compris que nous étions en présence d'une épreuve de Bernouilli et qu'il fallait appliquer la formule correspondante, ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi on l'applique et surtout qu'est ce que l'on cherche exactement ?

Cordialement

Bonjour Baptiste,

Tout d'abord, il faut introduire une variable aléatoire : Soit X la variable aléatoire qui parmi les 20 lancers compte le nombre de lancers qui vont à droite.
Ensuite, chaque lancer a deux issues : soit la balle va à droite avec une probabilité de p=0,5, soit elle va à gauche. On répète 20 fois de façon indépendante ces lancers.
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=20 et p=0,5.
Alors il faut calculer :
1. P(X=10)
2. P(5 =< X =< 10).

Remarques :
* pour mieux comprendre tu peux faire un arbre pondéré ....
* Le fait qu'il y ait une chance sur deux à chaque lancer que la balle aille à droite, ne veut pas dire que sur 20 lancers, 10 iront à droite.

SoSMath.