Équation du second degré nombres complexes

[Alice]

Bonjour,

J'ai à faire l'exercice suivant :

Soit x un nombre réel. Démontrer que l'équation z^2 + (2 cos x)z + 1 = 0, d'inconnue z, admet pour solutions les nombres e^i(x+pi) et e^i(-x+pi).

J'ai trouvé un delta = -4 sin^2x
Et deux racines
z1 = -cos x - i sin x
et
z2 = -cos x + i sin x

Je ne comprends pas comment trouver le résultat attendu à partir de ces racines, pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Alice,

Tes solutions sont justes.

Comment écrire \(e^{ix}\) à l'aide de cos(x) et de sin(x) ?

A bientôt !

[Alice]

Merci pour votre réponse,

d'après mon cours cos x + i sin x = e^ix , mais je ne comprends pas vraiment ce que vient faire pi là-dedans, pouvez-vous m'éclairer ?

[Alice]

Doit-on se servir du fait que -1 = e^ipi ?

[SoS-Math(25)]

Tu as deux possibilités :

Utiliser \(cos(\Pi +x)\) ou utiliser \(e^{i\Pi}=-1\). Pour cette dernière égalité, tu peux utiliser aussi la propriété multiplicative de l'exponentielle.

Bon courage

[Alice]

Je pense avoir compris, merci pour votre aide et bon weekend !

[SoS-Math(9)]

Bon week-end à toi aussi.

SoSMath.