SOS-MATH

Bonjour,
J'ai répondu à la question qui suit mais je me demande si ma réponse est correcte et s'il ne faudrait pas mieux justifier.
Pourriez-vous me donner votre avis s'il vous plaît ?

question : Soit a un nombre pair. Montrer que l'on peut écrire a sous la forme (2^n)*b où b est impair.

Voilà ma réponse :
Si b est impair alors b=2k+1 avec (k entier naturel)

a= (2^n)*b
= (2^n)*(2k+1)
= 2 *((2^n)*k+(2^n-1))
= 2K avec (K=(2^n)*k+(2^n-1) donc K entier naturel)

Donc pour tout n entier naturel non nul, a est pair et peut s'écrire de la forme (2^n)*b.

Merci pour votre aide.

Bonsoir,

Dans ta réponse tu as montré que si un nombre s'écrivait sous la forme \(2^{n}b\) avec b impair alors ce nombre est pair, ce qui peut se justifier plus directement : \(2^{n}b=2 \times 2^{n-1}b\) ce qui montre que le nombre est divisible par 2, donc pair.
Or ici, on te demande l'implication réciproque : si un entier est pair alors pourquoi peut-on l'écrire sous la forme \(2^{n}b\) avec b impair ?

SoSMath

Bonjour,
Merci pour votre réponse. J’ai essayé de répondre à la question d’une autre façon. (voir pièce jointe)

Bonjour,
Merci pour votre réponse. J’ai essayé de répondre à la question d’une autre façon. (voir pièce jointe)

Bonjour,
la preuve consiste en un algorithme.
Tu montres à chaque étape que soit tu peux encore extraire un facteur 2 du nombre \(b_n\), soit le nombre \(b_n\) est impair et on s'arrête.
La suite \((b_n\) est une suite décroissante de nombres entiers positifs donc minorée par 0 donc elle converge.
On peut même dire plus car comme il est toujours possible d'encadrer ton nombre \(a\) entre deux puissances de 2 consécutives : il existe un entier \(n\) tel que \(2^n\leqslant a\leqslant 2^{n+1}\), alors il y aura au maximum (n+1) étapes dans cet algorithme.
Est-ce plus clair ?
Bon courage

Merci beaucoup pour votre réponse, oui, maintenant c'est plus clair.