SOS-MATH

Bonjour,
Je suis bloquée dans mon cours, j'ai un point méthode qui m'indique comment on peut montrer que trois vecteurs sont coplanaires (les deux premières méthodes je les comprends mais la dernière non).
Il s'agit de montrer que deux des trois vecteurs sont colinéaires. Or quand je reprend le théorème :" soient trois vecteurs u, v , w tels que u et v ne sont pas colinéaires : u,v,w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que w= xu+yv"
Je sais que si deux vecteurs sont colinéaires alors ils sont coplanaires mais pour trois vecteurs je ne vois pas . Est ce que vous pourriez m'expliquer la différence entre le théorème et la méthode svp (colinéraire/ pas colinéaire?) ?

En vous remerciant par avance de votre réponse.

Julie

Bonsoir Julie,

Si je comprends bien ton problème : tu veux savoir pourquoi si deux de trois vecteurs sont colinéaires alors les trois sont coplanaires ?

Si l'on considère trois vecteurs de l'espace \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\).
1er cas : Si les trois vecteurs sont colinéaires, on n'est pas dans le cas d'application du théorème mais la situation est triviale : les trois vecteurs étant colinéaires, ils dirigent une même droite et sont donc coplanaires (une droite étant contenue dans une infinité de plans).

2ème cas : Si deux seulement des vecteurs sont colinéaires, par exemple \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\), alors \(\overrightarrow{v}\) ne peut pas être colinéaire à \(\overrightarrow{u}\) (sinon les trois vecteurs sont colinéaires et on est dans le cas précédent). Ainsi \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires ce qui rend l'application du théorème possible.
Or on a supposé que \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) étaient colinéaires, il existe donc un réel \(\lambda\) tel que \(\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{v}\), égalité que l'on peut écrire : \(\overrightarrow{w}=0\overrightarrow{u} + \lambda \overrightarrow{v}\).
On a ainsi \(\overrightarrow{w}=x \overrightarrow{u} + y \overrightarrow{v}\) avec \(x=0\) et \(y=\lambda\).
D'après le théorème, les trois vecteurs sont donc coplanaires.

J'espère avoir pu t'aider.

SoSMath

Merci de m'avoir répondu
Je pense avoir compris : il suffit de montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires ou de montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires pour montrer que les trois vecteurs sont coplanaires.