SOS-MATH

Bonjour, pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?

Voici l'énoncé :

Conjecturer à l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice quel est l'ensemble de nombres  entiers naturels non nuls n tels que PGCD (n^2+4n+9;n+1) =6 

Je trouve que ce sont des nombres qui sont congrus à 5 modulo 6. 

Ensuite, il faut :

Justifier la conjecture en considérant la combinaison linéaire n^2+4n+9 -(n+3) (n+1). 

J'ai pensé à utiliser la formule suivante :
Mais, je ne sais pas si cela convient !

En utilisant la formule PGCD (a; ka+b)

PGCD (n^2+4n+9;n+1)  = PGCD( n+1; -n(n+1)(n^2+4n+9)
= PGCD ( n+1; 3n+9) = PGCD ( n+1; -3(n+1) +3n +9)
=PGCD ( n+1; 6) =6 
 n+1 est congru à 0 [6]
N est congru à -1 et 5 [6] 

Est-ce correct ? 
Mais je n'utilise pas la combianaison lineaire souhaîtée

Merci de votre aide !

Bonjour,
il faut que tu raisonnes par double implication.
- Si 6 est le pgcd de \(n^2+4n+9\) et de \(n+1\) alors c'est un diviseur de \(n+1\) donc \(n+1\equiv 0\,\mod{6}\) donc \(n\equiv 5\,\mod{6}\).
- Inversement si \(n\equiv 5\,\mod{6}\) alors 6 est un diviseur de \(n+1\).
Donc \(6|(n+1)(n+9)\) donc \(6|n^2+10n+9\) et comme \(6|...\) alors \(6|n^2+10n+9-...\) soit \(6|n^2+4n+9\) donc 6 est un diviseur commun à \(n^2+4n+9\) et à \(n+1\).
Il reste à montrer que 6 est le plus grand des diviseurs commun.
Si on considère un nombre \(d\) qui est un diviseur commun à \(n^2+4n+9\) et à \(n+1\) alors il divise toute combinaison linéaire des deux donc \(d|\underbrace{\ldots-\ldots}_{=6}\) donc \(d|6\).
Je te laisse terminer.

Bonjour !

Merci beaucoup de votre réponse !

Donc d| n^2+4n+9 - (n+3)(n+1)
Donc d| 6

d est donc un diviseur de 6.
Donc d appartient à D(6)={-6;-3;-2;-1;1;2;3;6}.
d étant le plus grand diviseur, d=6.

Le PGCD de n^2+4n+9 et de n+1 est donc 6.

Est-ce correct ?

Merci de votre aide !

Bonjour Sophie,
On ne dit pas que d est le plus grand diviseur de 6, seulement que d est le plus grand diviseur commun de n²-4n+9 et n+1.
Par contre d est un diviseur commun de 6 et n + 1.

Bonjour Sophie,
On ne dit pas que d est le plus grand diviseur de 6, seulement que d est le plus grand diviseur commun de n²-4n+9 et n+1.
Par contre d est un diviseur commun de 6 et n + 1 alors pgcd(n²-4n+9;n+1) divise pgcd(6;n+1)

Bonjour !

Merci beaucoup de votre aide !!

Je conclue en disant que le PGDC (6; n+1)=6 et donc que le PGCD( n^2+4n+9; n+1)=6.

Bonjour,
la justification se fait en deux temps :
tu montres que 6 est un diviseur commun à tes deux entiers,
puis tu dis que si \(d\) est un diviseur commun à ces deux entiers, alors il divise 6, ce qui prouvera que 6 est le plus grand diviseur commun à tes deux nombres.
Bonne conclusion