Probabilités

[Clara]

Bonjours,
J'ai ce DM de maths à faire et je n'arrive pas à démarrer, déjà pour la question je pense que p1= 0,1 mais je ne suis pas sur du tous.
Pour la question 2b) j'ai juste la formule mais je ne sais pas si l'on peut réduire.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Clara,

Je suis d'accord avec p1=0,1.

Quelle formule as-tu trouvé pour la 2b) ?

A bientôt !

[Clara]

D'accord merci !
(Je ne peut pas écrire le signe "inter" du coup je vais écrire "i")
Pour la 2b) :
p(Fn+1)=p(Fn+1 i Fn)+p(Fn+1 i Fn(barre))

[SoS-Math(25)]

Voici ta formule avec les symboles :

\(P(F_{n+1})=P(F_{n+1}\cap F_n) + P(F_{n+1}\cap \overline{F_n})\)

Elle me semble juste mais après... As-tu vu les probabilités conditionnelles en cours ?

Bon courage !

[Clara]

Merci ! Oui normalement, et du coup est-ce possible de réduire cette formule ?

[sos-math(21)]

Bonjour
avec les probabilités conditionnelles, tu ne vas pas vraiment réduire la formule, tu vas seulement pourvoir utiliser des notations définies dans l'exercice :
Par exemple \(P(F_n\cap F_{n+1})=\underbrace{P_{F_n}(F_{n+1})}_{=0{,}6}\times \underbrace{P(F_n)}_{p_n}\)
Bonne continuation

[Clara]

Merci beaucoup !
J'ai du mal à répondre à la question 3b) je n'arrive pas à faire le calcul, et je me suis rendu compte que p1=0,6 et non pas 0,1

[sos-math(21)]

Le jour 1, il est au lendemain d'un jour où il a fumé (car \(p_0=1\) donc on est dans le cas "s'il fume un jour donné, alors il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6" donc on a bien
\(p_1=0{,}6\).
Pour la question 3b), il faut partir de la relation \(v_n=p_n-0{,}2\) et l'écrire au rang \(n+1\) : \(v_{n+1}=p_{n+1}-0{,}2=0{,5}p_n+0{,1}-0{,2}=0{,}5p_n-0{,}1\)
Il te reste à factoriser par \(0{,}5\) et tu retrouveras \(v_n\).
Tu en déduiras le caractère géométrique de cette suite \((v_n)\).
Bon calcul

[Clara]

En factorisant je trouve :
Vn=0,5(Pn-0,2)
J'ai calculer son terme initial comme demandé et je trouve V0=0,4 puis V1=0,2
On ne peut donc pas obtenir une raison de 0,5; je me trompe ?

[SoS-Math(33)]

Il y a une erreur dans ton expression,
si tu reprends ce que dis sos-math(21) et que tu factorise par 0,5 tu obtiendras \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\)
tu as \(v_{n+1}=p_{n+1}-0{,}2=0{,5}p_n+0{,1}-0{,2}=0{,}5p_n-0{,}1= 0,5(p_n-0,2)= 0,5v_n\)
il te faut reprendre tes calculs et revoir \(v_0\) et \(v_1\)

[Clara]

D'accord, mais vue que Vn+1=0,5Vn nous sommes censés connaître V0 on ne peut pas le calculer, je ne comprends pas...

[sos-math(21)]

Il faut que tu reviennes à la définition de ta suite \((v_n)\) : \(v_n=p_n-0,2\) donc en écrivant cette relation au rang 0 : \(v_0=p_0-0,2=...\)
Bonne continuation

[Clara]

Merci ! J'ai trouvé V0=0,8
Une dernière question, quelle démarche faut-il suivre pour déduire Vn en fonction de n ?

[SoS-Math(33)]

Tu as trouvé la nature de ta suite \(V_n\), il te faut maintenant utiliser la formule du cours qui te permet de calculer le terme général d'une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme \(V_0\) = 0,8
A toi de faire le calcul

[Clara]

Merci beaucoup j'ai enfin compris j'ai trouvé Vn=0,8×0,5^n et je peut donc répondre à la dernière question.
Encore merci !!