SOS-MATH

Bonjour,

J'ai deux exercices que je n'arrive pas à faire...

Exercice 1 :

Dire si les propositions A. et B. sont vraies ou fausses en justifiant :

A. La suite (un) définie par u0=4,5 et pour tout entier naturel n u(n+1)=4(un)²-5(un)+17 est divergente.

B. La suite de terme général (avec n entier naturel) 20n²-5n+4 est strictement croissante, donc f : x => 20x²-5x+4 est une fonction strictement croissante sur [0;+infini[.

Exercice 2 :

Après avoir montré que pour tout entier k supérieur ou égal à 2 : 1/k² inférieur ou égal à 1/(k-1)-1/k, déterminer le comportement asymptotique de la suite (u(n)) définie par :
n
u(n)=sigma 1/k² pour tout n entier naturel non nul.
k=1

Voici ce que j'ai fait :

k²>k>k-1
donc : 1/k²<1/k<1/(k-1)
donc : 1/k²-1/k<0<1/(k-1)-1/k
Mais je n'arrive pas à aboutir à 1/k² inférieur ou égal à 1/(k-1)-1/k...
Comment faire ? Et une fois que l'on a abouti à ce résultat, comment déterminer le comportement asymptotique ?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

Bonjour,
Il est préférable de préciser votre prénom.
Raisonnons par l'absurde : supposons u convergente vers L alors u\(_{n+1}\) tend vers L quand n tend vers + infini.
Ainsi l'égalité donne L = 4 L² - 5L + 17.
Vérifies que cette équation n'admet pas de solutions.

Bonsoir,

Merci pour votre réponse.

En fait on utilise ce théorème ou pas ? Soit une suite (un) définie par une relation de récurrence u(n+1)=f(un). Si lim quand n tend vers + infini (un)=l (finie) et si f est continue en l, alors l=f(l).

Je ne suis pas sûr d'avoir compris votre raisonnement... Est-on obligé d'effectuer un raisonnement par l'absurde ? N'y a-t-il pas d'autres méthodes ?

Bonne soirée et merci pour votre aide.

Oui, Yann c'est bien ce théorème que j'utilise.
C'est la méthode la plus simple et sans doute la plus rapide.

OK, merci !

Et pour les questions suivantes et l'exercice 2 ?

J'aurais besoin d'une réponse avant mon contrôle de demain...

Merci pour votre aide.

Bonjour,
il faut d'abord chercher à mettre sous le même dénominateur : \(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}=\dfrac{k}{k(k-1)}-\dfrac{k-1}{k(k-1)}=\dfrac{....}{k(k-1)}\) et ensuite sachant que \(k^2\geqslant k(k-1)\) en prenant l'inverse, on a ...
Bonne continuation