SOS-MATH

Bonjour,

Je dois faire l'exercice suivant mais je ne sais pas comment faire mon raisonnement par l'absurde :

Les informations suivantes sont les seuls résultats connus de la fonction exponentielle : pour tout x appartenant à R , exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1 ainsi que exp(x) différent de 0.

A l'aide d'un raisonnement par l'absurde et des résultats ci-dessus, démontrer que : pour tout x appartenant à R, on a exp(x)>0.

Je vous remercie d'avance pour votre réponse.

Bonne après-midi.

Bonjour,
Il est préférable que vous donniez votre prénom.
Comme on raisonne par absurde : On suppose qu'il existe x tel que exp(x)< 0 (car exp ne s'annule pas d'après les prérequis)
Or exp'(x) = exp(x) donc la dérivée est strictement négative et la fonction est strictement décroissante. exp(0) = 1 > 0. La fonction exp est dérivable donc continue. D'après le "corollaire " ou "théorème" des valeurs intermédiaires, sous ces 3 conditions, l'équation exp(x) =0 admet une unique solution. Absurde car exp ne s'annule jamais.
Conclusion, pour tout x, exp(x) > 0.