Primitive

[Claire]

Bonjour.

Je suis bloquée sur un exercice. On me demande de montrer que la fonction f(x)= 1/(1+x^2)^n admet une unique primitive sur R s'annulant en 0. Le problème, c'est que toute fonction admet une infinité de primitives donc il y en a forcément une qui doit s'annuler en 0 je crois.
Mais comment démontre-t-on cela rigoureusement ?
Je crois qu'il faut séparer l'existence de l'unicité mais je ne sais pas comment m'y prendre.

Je vous remercie par avance pour votre aide.


Claire

[SoS-Math(25)]

Bonjour Claire,

Que peux-tu dire de la fonction \(~f(x)=\dfrac{1}{(1+x^2)^n}\) ?

Tu dois avoir une propriété dans ton cours qui affirme que sous certaines conditions, une fonction admet au moins une primitive.

Ensuite tu as raison, l'unicité vient de l'annulation en 0 mais tu devras peut-être le démontrer.

Bon courage !

[Claire]

Merci pour votre réponse !
La fonction f est continue, donc elle admet une infinité de primitives.
Mais je ne sais pas comment poursuivre la démonstration.

[SoS-Math(25)]

Donc, tu viens de démontrer l'existence.

Il reste l'unicité.

L'idée serait de supposer qu'il existe deux primitives de f qui s'annulent en 0 puis de montrer qu'elles sont forcément égales.

Je t'aide un peu :

Soient F et G deux primitives de f telles que F(0)=0 et G(0)= 0.

Comment pourrais-tu montrer que quelque soit x dans R, F(x)=G(x) ?

Bon courage !

[Claire]

F et G ne se distinguent que par une constante C alors F = G+C donc F-G = C mais comme les deux primitives s'annulent en 0 la constante vaut 0 aussi donc F-G=0 c'est-à-dire F=G.

[SoS-Math(25)]

C'est cela.

Explique davantage pourquoi cette constante est nulle (F(0)-G(0)=....).

Bon travail et à bientôt !

[Claire]

C'est évident que C=0, non ? Je ne vois pas comment expliciter davantage.

[SoS-Math(25)]

"Évident " en maths est un mot souvent employé mais est-ce la vérité ?

F(x)-G(x)=C or, F(0)-G(0)=0-0=C donc...

De plus, pourquoi les fonctions F et G diffèrent t-elles d'une constante, c'est vrai mais est-ce une propriété du cours ? Comment l'expliquer ? Est-ce "évident" ?

A bientôt !

[Claire]

On a admis que les primitives d'une fonction sont toutes égales à une constante près.

[SoS-Math(25)]

D'accord,

Bon travail !