Blocage sur la récurrence

[Jennifer]

Bonjour, je suis sur un devoir maison depuis quelques jours et je n'arrive toujours pas à réaliser mon problème de récurrence. S'il vous plait est ce que vous pourriez m'aider ?

Pour tout n entier naturel* on appelle Pn la propriété suivante :
n
Σ 1/k(k+1) = 1-1/(n+1)
k=1

1) on pose Sn =Σ 1/k(k+1) pour n entier naturel*, écrire S4.

Pour cette question je pense avoir compris je ne suis pas certaine mais celle qui me pose problème est la suivante:

2) démontrer par récurrence que pour tout n entier naturel*, Pn est vraie.
Si vous pouvez m'aider pour celle ci car je suis vraiment perdu.
Je vous remercie d'avance à bientôt.

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta récurrence porte sur une somme de termes que tu nommes \(S_n\).
Si tu supposes à un rang \(n\) donné que la propriété \(P_n\) est vraie, cela signifie que \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}=\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}\)
Il faudrait obtenir la propriété au rang \(n+1\) c'est-à-dire : \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)}\stackrel{??}{=}1-\frac{1}{n+2}\)
Or que rajoute-t-on à \(S_n\) pour obtenir \(S_{n+1}\) : quel est le terme supplémentaire que l'on rajoute ?
Trouve le et tu auras bien avancé pour l'hérédité.

[Jennifer]

Bonjour, tout d'abord merci pour votre réponse. Je vous montre se que j'ai fais pour l'hérédité et vous me direz si j'y suis ou pas
Supposon qu'il existe un entier n tel que Pn soit vraie c-a-d 1-1/(n+1) (HDR)
Montrons alors que Pn+1 soit vraie c-a-d
Pn= 1-1/(n+1)
Pn+1 = 0+1+2+3+...+n+(n+1)
= Pn+(n+1)
=(1-1/(n+1))+(n+1)
= 1-1+(n+1)(n+1)/(n+1)
= 1-1+(n+2)/(n+1)
= (n+2)/(n+1)
La propriété est donc vraie pour n+1

C'est le calcul que j'ai réalisé mais je ne suis pas sur de moi quand dites vous?

[SoS-Math(31)]

Bonsoir Jennifer,
Attention à la confusion dans tes notations:
Sn = \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\)

Pn est l'égalité Sn = 1 - \(\frac{1}{n+1}\)

Le principe de la récurrence se fait en 2 étapes :
1ère étape : initialisation Il faut vérifier pour n = 1 car n appartient à N*
2ème étape : hérédité.

[Jennifer]

Bonsoir, Oui ne vous inquiétez pas je sais pour les deux étapes la j'ai uniquement fait la partie hérédité l'initialisation je les deja réussite mais c'est l'hérédité qui me pose problème..

[sos-math(21)]

Bonjour,
l'hérédité est fausse
Tu as :
\(S_n=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+...\dfrac{1}{n(n+1)}\)
Et
\(S_{n+1}=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+...\dfrac{1}{n(n+1)}+\ldots=S_n+\ldots\)
Trouve cela et l'hérédité sera plus facile à prouver

[Jennifer]

Bonjour, merci beaucoup je me suis corrigé j'ai pu voir où étaient mes erreurs. J'ai rendu ma copie aujourd'hui.
Merci encore pour votre aide.

[mhamedfrej]

Bonjour ;
\(\forall k\in\mathbb N^* : \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\) , donc :
pour \(k = 1\) on a \(\dfrac{1}{1*2} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{2}\)
pour \(k = 2\) on a \(\dfrac{1}{2*3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\)
..
..
..
pour \(k = n\) on a \(\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\)
En sommant , on a - puisqu'on c'est une somme télescopique - , \(\sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{1}{k(k+1)} = 1 - \dfrac{1}{n+1}\) .

[SoS-Math(30)]

Bonjour,

Dans la charte d'utilisation du forum, il est précisé qu'on n'utilise pas de pseudo autre que son prénom.
Ce que tu écris est correct mais ne répondait pas au problème de Jennifer qui devait montrer le résultat par récurrence.
La méthode de télescopage n'est pas explicitement vue en lycée.

SoSMath

[Jennifer]

Bonsoir, merci encore pour vos explications. Je vous communiquerais mes résultats dès que je les aurais je vous remercie. A bientôt.

[SoS-Math(31)]

A bientôt Jennifer