etude de fonctions

[eric]

Bonjour,

Je suis sur un exercice et j'ai un peu de mal à le finaliser

Dans une entreprise le cout de fabrication exprimé en milliers d'euros pour x centaines d'objets avec x appartenant à ]0;100], est donné par C(x)=x³+50x²+1200x+50
x

De plus le prix de vente d'une centaine d'objets est de 130 milliers d'euros.

1/ Montrer que le bénéfice B est donné par B(x)=-x²+80x-50/x-1200 : résolu
2/ Etudie le signe de B'(x) en utilisant une fonction auxiliaire g que l'on précisera : résolu

Voila ou cela pèche à la 3 ème question : Déterminer le nombre d'objets à fabriquer et à vendre afin d'obtenir un bénéfice maximal. J'ai aucune idée pour résoudre cette question.
En attendant, merci pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut que tu détermines le maximum de la fonction de bénéfice, ce qui implique l'étude de cette fonction (dérivée, signe de la dérivée, tableau de variation,....)
Tu as déjà dû faire l'étude du signe de la dérivée et il te reste à faire le tableau de variation de \(B\) pour voir où est situé son maximum.
Bon calcul

[eric]

Rebonsoir,

Merci d'avoir pris le temps de regarder mon post.

Toutefois, la fonction dérivée de B est : -2x+80+50/x² . J'ai utilisé la fonction auxiliaire gx= -2x³+80x²+50 et j'ai déterminé le signe de cette fonction sur l'intervalle ]0;100]. Je trouve g'x qui s'annule au point x x=26.66.
La fonction auxiliaire g est croissante de 0 à 26.66 et décroissante de 26.66 à 100.
En conséquence la fonction bx est croissante de 0 jusqu'à une valeur (le max du bénéfice) et décroissante de cette valeur à 100.

Je sais que le bénéfice maximum correspond au maximum dans le tableau de variation MAIS je n'arrive pas à déterminer ce maximum....

Merci pour votre aide

[sos-math(21)]

Si ton maximum est atteint pour \(x=26,66\) alors ce maximum vaut \(B(26,66)\) : tu remplaces \(x\) par \(26,66\) dans \(B(x)\).
Bon calcul
PS : je ne me prononce pas sur la validité de tes calculs, je te donne juste la marche à suivre pour conclure ! J'ai tracé la courbe sur GeoGebra et je ne trouve pas 26,66....

[eric]

Merci.
C'est 26.66 avec la fonction g et je suis d'accord avec le tracé de la courbe on ne trouve pas 26.66 mais 40. Donc je dois avoir fait une erreur avec la fonction g .... mail laquelle ????
Je vais rechercher, merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
je pense plutôt qu'il faut que tu prennes comme fonction auxiliaire le numérateur de la dérivée de ta fonction de bénéfice.
Tu dois avoir \(B'(x)=\dfrac{-2x^3+80x^2+50}{x}\) et tu gardes \(g(x)=-2x^3+80x^2+50\) que tu dérives ; tu obtiens alors une fonction du second degré dont tu détermines les racines,
puis le signe. Ainsi tu obtiendras le tableau de variation de \(g\) et tu pourras ensuite en déduire le signe de \(g(x)\) sur \([0\,;\,100]\) (théorème des valeurs intermédiaires pour la résolution de \(g(x)=0\), avec détermination de la solution à la calculatrice) ce qui te donnera le sens de variation de \(B\).
Bon calcul, c'est assez long.

[eric]

bonsoir ,
merci pour cette réponse.
j ai effectivement gardé g(x)= -2x³+80x²+50
g'(x) = -6x²+160x et les 2 racines sont 0 et 26.6
j ai donc le sens de variation de g(x) et de B(x): positif de 0 à 26.6 et négatif de 26.6 à 100
lorsque je calcule B(26.6) je trouve 218 euros
je n'arrive pas à trouver 40 comme la lecture sur courbe

[sos-math(21)]

Non,
tu confonds deux choses : le signe de g'(x) va te donner le sens de variation de g -> construis le tableau de variation de \(g\) sur \([0\,;\,100]\).
La connaissance du sens de variation de g te donnera son signe : construis le tableau de signe de \(g(x)\) sur \([0\,;\,100]\).
Une fois que tu auras le signe de \(g(x)\), cela te donnera le signe de \(B'(x)\)-> construis le tableau de variation de \(B\).
Reprends cela avec méthode.

[eric]

merci pour ces précisions ,
je reprends mon raisonnement : B(x) = -x²+80x-50/x-1200
B'(x) = -2x+80+50/x²
j'écris B'(x) = (-2x³+80x²+50)/x²
J'utilise le fonction auxiliaire g(x) = -2x³+80x²+50
g'(x)=-6x²+160x
2 racines =0 et 26.6
donc g'(x) est positif de 0 à 26.6 et négatif de 26.6 à 100
et donc G (x) est croissante de 0 à 26.6 et décroissante de 26.6 à 100.
Donc pour B(x) :
x² >0 donc B'(x) a le même signe que g(x) donc
positif de 0 à une valeur maxi (à déterminer ) et négatif de cette valeur à 100.
donc B(x) est croissante de 0à cette valeur et décroissante de cette valeur à 100 ..
Mais quelle est cette valeur et comment la déterminer car ce serait le nombre d'objets maxi donc le maximum .
si mon raisonnement est faux , je ne sais plus comment procéder .
merci encore

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Eric,

Ton raisonnement est juste. Cette valeur existe et est unique. As-tu vu un théorème qui s'appelle théorème des valeurs intermédiaires ? Pour la déterminer, tu peux utiliser la courbe représentative de la fonction pour en avoir une valeur approchée. Tu sais que c'est la valeur de \(x \in [\frac{80}{3};100]\) qui annule \(-2x^3+80x^2+50\). Avec ta calculatrice tu peux approcher cette valeur.

Bonne continuation.

[eric]

encore merci ,
d après le théorème des valeurs intermédiaires, si la fonction est strictement croissante ou décroissante sur l intervalle [80/3 ;100 ] , il existe une valeur x compris entre g(80/3) et g(100) qui annule -2x³+80x²+50 .
cette valeur serait 40 à la lecture de la courbe.
j'espére que c'est la solution .
encore merci pour le suivi

[SoS-Math(31)]

Bonsoir Eric,
Tu oublies une donnée importante pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires : Il faut que f soit continue.
Regardes sur la table des valeurs de f à la calculatrice. Entre quelles valeurs la solution se trouve c- à- les valeurs consécutives qui ont une images de signes contraires.

[eric]

oui effectivement f est bien continu...... donc je peux appliquer le théorème et prendre la valeur 40.
Après j'abandonne en attendant la correction.
Encore merci pour votre aide...

[SoS-Math(31)]

En fait la solution est entre 40 et 41. Si tu calcules f(40,5) , comme il est négatif et f(40) positif la solution est entre 40 et 40,5, une valeur approchée à l'entier près est alors 40.

[eric]

Merci pour tout.
Très bon forum je n'hésiterai pas à revenir vers vous