Problème de congruence

[Romain]

Bonjour à tous !

Je viens juste de sortir d'un contrôle de Spe maths sur les congruences (que j'ai heureusement réussis =D)
Néanmoins, j'ai bloqué sur l'exercice bonus. Je l'ai donc repris durant mon trajet retour et chez moi, et toujours impossible de le résoudre.
Comme je suis quelqu'un de complétement obnubilé par un problème des que je n'arrive pas a le résoudre, je me demandais si une âme charitable pourrait essayer de me mettre sur la voie, histoire que je réussisse à dormir cette nuit x)

Voici l'énoncé, très simple :
Soit n un nombre entier non nul. Prouver que, si 3 ne divise pas n, alors 2^(2^n) + 2^n + 1 est divisible par 7

Voila, merci à tous =D

[sos-math(21)]

Bonjour,
es-tu sûr de ton énoncé, car si je note \(U_n=2^{2^{n}}+2^n+1\), alors \(U_4=65\,553\) et ce nombre n'est pas divisible par 7.
Ce ne serait pas plutôt \(V_n=2^{2n}+2^n+1\) ?
Je te propose d'étudier successivement les cas \(n=3k+1\), \(n=3k+2\) et \(n=3k\).
Je commence l'exemple avec \(n=3k+1\), alors dans ce cas on a \(V_n=2^{6k+2}+2^{3k+1}+1=(2^6)^{k}\times 2^2+(2^3)^k\times 2+1\)
Or on sait que \(2^6=64\) et \(64\equiv1\mod[7]\) ainsi en passant aux puissances \((2^6)^k\equiv 1\,\mod[7]\)
De même \(2^3=8\) et \(8\equiv 1\,\mod[7]\) donc \((2^3)^k\equiv 1\,\mod[7]\)
au final on a \(V_n\equiv 2^2+2+1\equiv 0\,\mod[7]\) et 7 divise \(V_n\).
Je te laisse faire le cas \(n=3k+2\) et voir pourquoi le cas \(n=3k\) ne fonctionne pas.
Bonne continuation

[Romain]

Merci beaucoup, j'ai saisie le principe grâce a vous =D
Encore merci, et bonne soirée

[SoS-Math(31)]

Bonne soirée.