SOS-MATH

La borne inférieure est 0 car n, m, et 1 sont poitifs donc m+n+ 1 positifs. De plus m-n > 0 car m >n.

Merci de votre réponse. Cependant je ne comprends pas pourquoi on me demande avant de montrer que c'est borné ? Car en montrant cela on montre finalement ce qu'est la borne inférieure et supérieure.

Bonjour,
Pour montrer que 1 est la borne supérieure de ton ensemble, il faut d'abord prouver que c'est un majorant de ton ensemble.
Ensuite, il faut prouver que c'est le plus petit des majorants, tu as deux possibilités :
- soit tu montres que c'est le plus petit des majorants : par l'absurde tu peux supposer que ce n'est pas le plus petit, c'est-à-dire qu'il existe un réel \(\epsilon>0\) tel que \(1-\epsilon\) soit le plus petit des majorants de ton ensemble, tu dois aboutir à une contradiction en t'appuyant sur la forme des nombres de ton ensemble ;
- soit tu montres qu'il existe une suite d'éléments de ton ensemble qui converge vers 1 : je te propose d'étudier la suite \(u_n=\frac{n^2-n}{n^2+n+1}\) : c'est bien une suite d'éléments de ton ensemble \((n^2\geqslant n)\)
Bon calcul

Merci beaucoup, je pense avoir compris. J'ai effectivement réussi à montrer que la suite (Un) est croissante et majorée par 1 donc qu'elle converge. J'ai ensuite calculé la limite qui vaut bien 1. En fait c'est souvent la borne supérieure qui nécessite plus de travail que la borne inférieure ?

En fait,
le travail est le même pour une borne inférieure mais, dans ce cas précis, c'est plus simple, car 0 est un élément de l'ensemble donc c'est carrément un plus petit élément.
Par exemple pour l'ensemble \(\left\lbrace\dfrac{1}{n}\,,\,n\in\mathbb{N}^*\right\rbrace\) : celui-ci admet lui aussi 0 comme borne inférieure mais 0 n'appartient pas à cet ensemble.
Il faut là aussi prendre une suite d'éléments qui converge vers 0.
Bonne continuation

Ah d'accord. Merci pour tout, c'est beaucoup plus clair pour moi.

A bientôt