Etude de fonctions. Continuité et dérivabilité

[Marie]

Bonsoir, j'ai un exercice à faire pour la rentré et j'aimerais savoir si mes réponses sont justes (si je n'ai rien oublié et si mes phrases sont bien dites). Merci

1°/ D'après le théorème de Pythagore, on a dans le triangle rectangle : 8²= r²+h².
Alors r²= 8²-h²
r²= 64-h²
Puis en remplaçant l'expression de départ on obtient : V(h)= 1/3π(64-h²)h pour 0 ≤ h ≤ 8 .

2°/ Pour l'exercice 2 je me suis servis de la calculatrice avec la stricte croissance de f sur [0;8] avec un pas de 0.001. J'y ai trouvé 2 solutions : 2.475 et 6.47.
J'ai remplacé le h de l'expression par ses solutions et j'ai obtenu le résultat attendu dans l'énoncé qui est de 150.
V(2,475)= (1/3)π (64-(2,475)²) x 2,475
V(2,475)~150 cm3

V(6,470)= (1/3)π (64-(6,470)²) x 6,470
V(6,470)~ 150 cm3

Le cône peut donc avoir un volume de 150 cm3 avec pour hauteur 6,470 cm ou 2,475 cm.

[SoS-Math(31)]

Bonjour Marie,
Ok pour la première question.
utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer que l'équation V(h) = 150 admet au moins une solution (grâce à la continuité de v et ...)

[Marie]

Je commence donc comme ça mon 2 ?

"Pour dériver V comme une somme plutôt que comme un produit, remarquons d'abord que V= π/3 (64−h²) h. V est dérivable sur ℝ car c'est un polynôme en h et V'= - 2h. (π est une constante donc elle est nul)."

[SoS-Math(31)]

Bonsoir Marie,
Non, c'est faux.
* Soit tu dévelopes v : V(h) = \(\frac{1 }{3\Pi}\)* [64h - h\(^{3}\)]
la dérivée de kf avec k constante est k multiplié par la dérivée de f.

d'où V '(h) = \(\frac{1 }{3\Pi}\)* la dérivée de [64h - h\(^{3}\)].
Soit tu dérives le produit (64 - h²)h que tu multiplies le résultat par \(\frac{1 }{3\Pi}\).

[Marie]

1/3 π -2 h c'est ça ?

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Marie,

En développant :

\(~\dfrac{1}{3}\pi (64-h^2)h = \dfrac{1}{3}\pi (64h-h^3) = \dfrac{1}{3}\pi \times 64h - \dfrac{1}{3}\pi \times h^3\)

Quelle est la dérivée de \(~\dfrac{1}{3}\pi \times 64h\) ?

Quelle est la dérivée de \(~ \dfrac{1}{3}\pi \times h^3\) ?

Bon courage !

[Marie]

Bonjour,

la dérivée de 1/3 π x 64h c'est 64 ?
et
la dérivée de 1/3 π x h³ c'est 3h² ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
la dérivée d'une fonction linéaire de la forme \(f\,:\,h\mapsto a\times h\) est égale au coefficient directeur \(f'(h)=a\) donc si \(f(h)=\frac{1}{3}\pi\times 64\times h\) combien vaut \(f'(h)\) ?
Le problème est le même avec \(g\,:\,h\mapsto \frac{1}{3}\pi\times h^3\) : la fonction \(h\mapsto h^3\) se dérive bien en \(3h^2\) mais lorsqu'il y a un facteur \(\frac{1}{3}\pi\), que devient cette dérivée ?
Reprends ton cours pour éclaircir cela

[Marie]

u' x v + v' x u ?

la dérivée de 1/3 π x 64h :

u: 1/3 π v: 64h
u': 0 v': 64

0 x 64h + 64 x 1/3 π = 64/3 π ?

la dérivée de 1/3 π x h³ est :

u: 1/3 π v: h³
u': 0 v': 3h²

0 x h³ + 3h² x 1/3 π = 3h²/3 π = h² x π ?

[SoS-Math(31)]

Oui, Marie, maintenant, c'est juste.

[Marie]

Je fais dalta avec un tableau de variation apres ?

[sos-math(21)]

Oui, tu peux faire un calcul de discriminant même s'il y a plus simple.

[Marie]

Qu'est-ce qui est plus simple ?

[sos-math(21)]

Que trouves-tu pour \(f'(h)\) ?
Tu peux étudier le signe de \(f'(h)\) sans discriminant mais cela fonctionnera aussi avec le discriminant.
Bonne continuation

[Marie]

Je trouve 64h/3 π - h²x π