Devoir sur les similitudes

[Sophia]

Bonjour. Nous professeur prend un peu d'avance sur le programme et nous a donné un devoir-maison sur les similitudes (que nous avons quand même étudiées en classe).
Voici l'énoncé :

On souhaite démontrer le théorème suivant : soit f:C-->C, f est une similitude ssi il existe lambda réel strictement positif tel que pour tout couple (z;w) de complexes module de f(z)-f(w) = lambda module(z-w)

1. Soit f une similitude. Montrer qu'il existe lambda>0 tel que pour tout couple (z;w) de complexes module de f(z)-f(w) = lambda(z-w).
(Je l'ai faite, c'est facilé simplement avec la définition de la similitude, je n'ai pas besoin d'aide pour ça).
C'est ensuite que les choses deviennent plus compliquées.

On veut montre l'implication réciproque (c'est-à-dire montre que f est une similitude).

2. Montrer qu'il existe deux complexes a et b tels que la fonction pour tout complexe z g(z) = af(z)+b vérifie g(0)=0 et pour tout couple de complexes (z;w) module de g(z)-g(w)= module(z-w).

Le problème, c'est que je ne sais pas comment introduire a et b. Je reste bloquée à g(0)=0 équivaut à af(0)+b=0 mais ça ne marche pas car j'ai déjà supposé l'existence de a et b...

3. Montrer qu'il existe téta, réel tel que la fonction pour tout z complexe h(z)=e^itéta g(z) vérifie h(1)=1.
Même problème que précédemment.

4. Montrer que h(i) = i ou h(i) = -i.
J'essaie en calculant h(i) = e^itéta g(i) = e^itéta(af(i) + b) mais pareil, je n'avance plus.

5. On suppose que h(i) = i, montrer que pour tout z de module 1, h(z) = z puis lorsque h(i)=-i, h(z)=z(barre)
La démonstration me paraît évidente, mais je ne sais pas comment bien la formuler.

6. Montre que pour tout z de module 1 et tout lambda positif, h(lambda*z)=lambda*h(z).

Bon, j'ai essayé de donner les pistes de réflexion mais j'ai un peu de mal.
Merci par avance pour vos réponses.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophia,

Je n'ai pas d'idée pour le moment.
Cependant as-tu donné tout l'énoncé ? Pour moi il manque une donné à la question 2 ....
Je regarde un peu plus tard et je reviens vers toi.

SoSMath.