SOS-MATH

Bonjour, pourriez-vous m'aider svp ?

Je dois rechercher les valeurs de n appartenant à IN, tel que (3n^2 +13n +23 )/ ( n^2 +3n +2 ).

Je voulais factoriser avec la méthode du discriminant et peut-être continuer avec la méthode de combinaison linéaire à termes constants mais je vois pas,trop comment faire...

Merci de votre aide !

Bonjour Sophie,

Je n'ai pas très bien compris ton exercice.

Dois-tu trouver des valeurs \(n \in \mathbb{N}\) telles que \(n^2 + 3n + 2\) divise \(~3n^2 + 13n + 23\) ?

Si tel est le cas, je te conseille d'abord de tester avec n = 0, puis n=1, puis n=2, puis n=3. Tu vas peut-être constater quelque chose...

A bientôt !

Bonjour,

Oui excusez-moi,
J'ai oublié d'écrire : tel que n soit un nombre entier. Je suis désolée.

Alors, en testant ces valeurs, je ne trouve aucune nombre entier,

Pour n=0 je trouve 23/2


Pour n=1, je trouve 39/6
Pour n=3, j'obtiens 89/20

Donc, aucun nombre entier. Est-ce normal ?

Merci de votre aide !

Effectivement, cela ne fonctionne pas pour n=0,1,2 ou 3. Mais existe-t-il des nombres entiers n pour lesquels cela fonctionne ?

La question est là...

Dans les résultats trouvés, que peux-tu observer pour le numérateur ? Pour le dénominateur ? (Quelque chose d'assez simple, ne cherche pas trop compliqué...)

Bon courage !

Merci de votre réponse !

Le numérateur est toujours un nombre impair alors que le dénominateur est toujours un nombre pair. Or, on sait qu'un nombre impair n'est jamais divisible par un nombre pair... Mais comment poursuivre ?

Dois-je prouver que le numérateur est toujours impair et le dénominateur toujours pair ?

C'est exactement cela.

Sophie a écrit : Dois-je prouver que le numérateur est toujours impair et le dénominateur toujours pair ?

Effectivement, il reste à prouver cela...

Une indication, étudie les cas où n est pair puis les cas où n est impair...

Bon courage !

D'accord, merci de l'indication !

Je dois donc procéder par parité ?

C'est cela,

Bon courage !

D'accord merci !

Finalement des questions intermédiaires ont été ajoutées à cet exercice...


On me,demande de démontrer que pour tout entier n appartenenant à Z,
(n^2 +3n +2) est divisible par ( n+2)

J'ai donc fait comme vous me l'aviez conseillé, c'est-à-dire en procédant par parité.

Si n est pair (n=2 k )avec k appartient à Z, alors (n^2 +3n +2)= (2k +2) (2k +1) soit = (2k+2) K avec K = 2k+1 et K appartient à Z.

Donc si n est pair (n^2 +3n +2) est divisible par 2. Jusque là cela vous semble-t-il correct ?

Si n est impair (n=2k+1) le problème est qu'en tutilisant la même méthode que précédemment,
J'obtiens (n^2 +3n +2)=2(2k+2) (k+1) et je n'arrive pas,à faire apparaître le facteur (2k +3) comment continuer ? Et sui-je sur la bonne voie avec cette méthode ?

Bonjour,
si tu développes tout, tu as \((2k+1)^2+3(2k+1)+2=4k^2+10k+6=(2k+3)(...+...)\) dans cette dernière parenthèse, tu es obligée de mettre de \(2k\) pour avoir \(4k^2\) et tu es obligée de mettre \(+2\) pour avoir le \(+6\) du développement, il te reste à vérifier que cette factorisation est correcte (en redéveloppant tout).
Sinon, il y avait peut-être plus simple en partant du cas général :
complète la relation pour qu'il y ait une égalité \(n^2+3n+2=(n+2)^2-....\) et tu verras que tu peux factoriser par \(n+2\).
Bon calcul

D'accord merci ! Je vois donc en factorisant, et en rayant le facteur commun, j'obtiens (2k+2) et donc je finis par dire que (2k+2) est un réel car k appartient à IN, ainsi, (2k+2) est forcément divisible par 1. Est-ce correct ?

Dans l'autre cas, (n^2 +3n +2) = (n+2)^2 -n-2 =(n+2)^2 -(n+2)

Donc, nous obtenons : =[(n+2)^2 -(n+2)] / (n+2) = (n+2) -1 = n+1

Et ensuite, il faut reprendre la rédaction dans le cas où n est pair puis impair ?
Ou il suffit de dire que quelque soit n (n+1) est forcément divisible par 1 ?

Merci de votre réponse !

Bonjour,
reste précise dans tes formulations : tu peux travailler directement sur \(n\) quelconque sans t'embêter avec les cas pair et impair.
En écrivant que \(n^2+3n+2=(n+2)\times(n+2-1)=(n+2)(n+1)\) tu montres que \(n^2+3n+2\) s'écrit sous la forme \(k\times(n+2)\) avec \(k\) entier, ce qui prouve que ce nombre est divisible par \(n+2\).
Bonne continuation

Bonjour, merci de votre réponse !

D'accord donc je n'ai pas besoin de différencier le cas pair et le cas impair.

Ensuite j'ai une autre question
En remarquant que pour tout entier n appartenant à Z, 3n^2 +13n +23 = (n+2)(3n+7) +9 déterminez les entiers relatifs n pour lesquels 3n^2 +13n +23 est divisible par (n+2)

J'ai d'abord développé l'expression factoriser pour vérifier si elle était bien égale à l'autre forme, puis

(3n^2 +13n +23) /(n+2) = [(n+2)(3n+7) +9 ]/(n+2) = (3n+7) +9 =3n +16

Mais que dire des solutions n ? Je ne sais pas ?

Bonsoir,
avec cette relation, il faut donc que 9 soit divisible par \(n+2\), cela laisse peu de possibilité pour \(n+2\) qui doit donc être un diviseur de 9.
Attention, il faut regarder les diviseurs dans \(\mathbb{Z}\).
Je te laisse réfléchir

Bonsoir, merci de votre réponse !

(n+2) peut être égal à -9, -3, -1, 1, 3, 9 c'est cela donc n appartient à {-11,-5,-3,-1,1,7} .

Est-ce cela ?
Cependant je n'ai pas compris pourquoi 9 doit être divisible par (n+2)
Que fait-on (3n+7) et pourquoi ne pas chercher pour (3n+16) ?