Bonjour, jà,i un exercice pourriez-vous m'aider svp ?
Je dois démontrer que 7 divise 2^(3n) -1
Je ne sais pas comment commencer, peut-être sué 2^(3n-1)=2^n x 2^n x 2^n -1 ?
Mais je en sais pas comment continuer ?
Pouvez-vous le donner de pires s''il vous plaît ?
Merci !
Divisibilité
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Sophie
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SoS-Math(31)
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- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:33
Re: Divisibilité
Bonjour Sophie,
Connaissez vous le principe par récurrence ?
Connaissez vous le principe par récurrence ?
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Sophie
Re: Divisibilité
Bonjour !
Oui nous en avons parle très rapidement !
Oui nous en avons parle très rapidement !
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SoS-Math(31)
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Re: Divisibilité
Si la propriété est à montrer pour tout n appartenant à N, tu dois faire l'initialisation pour n = 0.
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Sophie
Re: Divisibilité
Alors
INITIALISATION :
Pno = 0 et 7 divise 0'donc la,proposition est vraie au premier rang. (Pno,est vraie ).
HÉRÉDITÉ :
On prend k >=n0 tel que la propriété est vraie.
P(k+1 = 2 ^(3k+3) -1 ,mais je en disais comment montre que ceci est divisible at 7...
INITIALISATION :
Pno = 0 et 7 divise 0'donc la,proposition est vraie au premier rang. (Pno,est vraie ).
HÉRÉDITÉ :
On prend k >=n0 tel que la propriété est vraie.
P(k+1 = 2 ^(3k+3) -1 ,mais je en disais comment montre que ceci est divisible at 7...
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SoS-Math(31)
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Re: Divisibilité
Hérédité : oui, tu prends k (ici supérieur à 0) tel que la propriété est vrai au rang k (*)
Tu dois montrer la propriété au rang k + 1 donc tu dois montrer que 2\(^{3(k+1)}\) - 1 est divisible par 7.
Tu dois montrer la propriété au rang k + 1 donc tu dois montrer que 2\(^{3(k+1)}\) - 1 est divisible par 7.
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Sophie
Re: Divisibilité
Oui d'accord merci !
Mais comment fait-on en développant ?
Merci de votre aide !
Mais comment fait-on en développant ?
Merci de votre aide !
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Divisibilité
Bonjour,
l'hérédité est un peu plus compliquée :
il faut écrire : \(2^{3k+3}-1=2^{3k}\times 2^3\underbrace{-2^3+2^3}_{\text{ruse}}-1=2^3(\ldots-\ldots)+2^3-1\) ce qui permet de factoriser par \(2^3\) les deux premier termes et il restera \(2^3-1=8-1=7\).
Tu dois normalement obtenir deux "morceaux" tous les deux divisibles par 7.
Essaie de poser ce calcul.
Bon courage
l'hérédité est un peu plus compliquée :
il faut écrire : \(2^{3k+3}-1=2^{3k}\times 2^3\underbrace{-2^3+2^3}_{\text{ruse}}-1=2^3(\ldots-\ldots)+2^3-1\) ce qui permet de factoriser par \(2^3\) les deux premier termes et il restera \(2^3-1=8-1=7\).
Tu dois normalement obtenir deux "morceaux" tous les deux divisibles par 7.
Essaie de poser ce calcul.
Bon courage
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Sophie
Re: Divisibilité
Bonjour, merci beaucoup de votre aide !
Donc, on obtient, 2^3 ( 2^3k. -1) +2^3 -1
Il faut donc montrer que les deux morceaux sont divisibles par 7 : 2^3. -1 =7 et 7 divise 7 ( car un nombre admet lui-même comme diviseur ).
Ensuite, pour monter que 8(2^3k. -1) est divisible par 7, je en sais pas comment faire..
Donc, on obtient, 2^3 ( 2^3k. -1) +2^3 -1
Il faut donc montrer que les deux morceaux sont divisibles par 7 : 2^3. -1 =7 et 7 divise 7 ( car un nombre admet lui-même comme diviseur ).
Ensuite, pour monter que 8(2^3k. -1) est divisible par 7, je en sais pas comment faire..
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Divisibilité
Sophie,
c'est là qu'intervient l'hypothèse de récurrence : tu as supposé que pour un entier \(k\) donné, ton nombre \(2^{3k}-1\) est divisible par 7.
Essaie de reprendre la rédaction du raisonnement par récurrence pour comprendre comment s'enchaînent les différentes étapes.
Bon courage
c'est là qu'intervient l'hypothèse de récurrence : tu as supposé que pour un entier \(k\) donné, ton nombre \(2^{3k}-1\) est divisible par 7.
Essaie de reprendre la rédaction du raisonnement par récurrence pour comprendre comment s'enchaînent les différentes étapes.
Bon courage
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Sophie
Re: Divisibilité
INITIALISATION :
Pno = 0 et 7 divise 0'donc la,proposition est vraie au premier rang. (Pno,est vraie ).
HÉRÉDITÉ :
On prend k >=n0 tel que la propriété est vraie.
P(k+1 = 2 ^(3k+3) -1 = 2^3 ( 2^(3k-1 ) -7
7 est divisible par 7 mais pour le reste ? Dois-je développer ?
Merci de votre aide !
Pno = 0 et 7 divise 0'donc la,proposition est vraie au premier rang. (Pno,est vraie ).
HÉRÉDITÉ :
On prend k >=n0 tel que la propriété est vraie.
P(k+1 = 2 ^(3k+3) -1 = 2^3 ( 2^(3k-1 ) -7
7 est divisible par 7 mais pour le reste ? Dois-je développer ?
Merci de votre aide !
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SoS-Math(25)
- Messages : 1867
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Divisibilité
Bonjour Sophie,
Tu en es là donc :
Supposons que \(~2^{3k}-1\) est divisible par 7. (hypothèse)
Montrons que \(~2^{3(k+1)}-1\) est divisible par 7 :
\(~2^{3(k+1)}-1 = 8(2^{3k}-1)+7\).
Bon courage !
Tu en es là donc :
Supposons que \(~2^{3k}-1\) est divisible par 7. (hypothèse)
Montrons que \(~2^{3(k+1)}-1\) est divisible par 7 :
\(~2^{3(k+1)}-1 = 8(2^{3k}-1)+7\).
Exactement, regarde l'hypothèse et tu devrais trouver.Sophie a écrit : Il faut donc montrer que les deux morceaux sont divisibles par 7 : 2^3. -1 =7 et 7 divise 7 ( car un nombre admet lui-même comme diviseur ).
Ensuite, pour monter que 8(2^3k. -1) est divisible par 7
Bon courage !
-
Sophie
Re: Divisibilité
Bonjour,
Merci de votre réponse claire !
Oui nous avons supposé que (2^3k -1 ) est divisible par 7.
Donc pour 8(2^3k. -1) +7 nous savons que ce qui est entre parenthèse est divisible par 7, tout comme le 7 mais... Il reste le,problème du facteur 8 ?
Est-ce que je devais constater ?
Merci de votre aide !
Merci de votre réponse claire !
Oui nous avons supposé que (2^3k -1 ) est divisible par 7.
Donc pour 8(2^3k. -1) +7 nous savons que ce qui est entre parenthèse est divisible par 7, tout comme le 7 mais... Il reste le,problème du facteur 8 ?
Est-ce que je devais constater ?
Merci de votre aide !
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SoS-Math(25)
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- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Divisibilité
Tu y es presque,
Il te reste à montrer que \(~8(2^{3k}-1)\) est divisible par 7 sachant, par hypothèse, que \(~2^{3k}-1\) est divisible par 7...
La réponse est relativement simple :
Si un nombre, \(a\), est un multiple de 7. que peut-on dire de \(8\times a\) ?
Si tu ne vois pas, je te conseille de revenir à la notion de divisibilité :
Si un nombre, \(a\), est un multiple de 7 alors il peut s'écrire \(a=7k\) avec k un nombre entier...
Bon courage !
Il te reste à montrer que \(~8(2^{3k}-1)\) est divisible par 7 sachant, par hypothèse, que \(~2^{3k}-1\) est divisible par 7...
La réponse est relativement simple :
Si un nombre, \(a\), est un multiple de 7. que peut-on dire de \(8\times a\) ?
Si tu ne vois pas, je te conseille de revenir à la notion de divisibilité :
Si un nombre, \(a\), est un multiple de 7 alors il peut s'écrire \(a=7k\) avec k un nombre entier...
Bon courage !
-
Sophie
Re: Divisibilité
Merci de votre réponse !
Si a un est multiple de 7, alors 8a est un multiple de 7.
a étant un multiple de 7, il peut s'écrie a = 7k où k est un entier appartenant à IN.
(2^3k -1 ) étant un divisible par 7 et un multiple de 7, il peut s'écrire sous la forme 7k
et donc 8 x 7k étant un multiple de 7, 8 x 7k est divisible par 7 ( 8 x 7k=56k est divisible par 7 car cela donne 7(8k) et donc ce nombre est bien divisible par 7 car tout nomre pouvant s'écrire 7K avec K appartient à IR. est divisible par 7 et ici K=8k.
Cela est-il correct ?
Si a un est multiple de 7, alors 8a est un multiple de 7.
a étant un multiple de 7, il peut s'écrie a = 7k où k est un entier appartenant à IN.
(2^3k -1 ) étant un divisible par 7 et un multiple de 7, il peut s'écrire sous la forme 7k
et donc 8 x 7k étant un multiple de 7, 8 x 7k est divisible par 7 ( 8 x 7k=56k est divisible par 7 car cela donne 7(8k) et donc ce nombre est bien divisible par 7 car tout nomre pouvant s'écrire 7K avec K appartient à IR. est divisible par 7 et ici K=8k.
Cela est-il correct ?