SOS-MATH

Bonjour j'ai un exercice où je dois calculer la limite de la fonction x^3 - x^2 + 3 / x^2 - 1 en -1 et en 1

En -1

x^3 - x^2 + 3 -------------------------> 1

Et x^2 - 1 -----------------------> 0

Du coup j'étudie le signe de x^2 - 1 et je trouve :

x²-1 > 0.
(x-1)(x+1) > 0

tableau de signes
x...-l'inf..............-1...........+1.............+l'inf
(x-1)...........-................-.....0.....+..............
(x+1)..........-......0.......+............+..............
(x-1)(x+1)..+.....0........-.....0.....+..............

Du coup je doit écrire :

x²-1 > 0 sur ] - l'inf ; -1 [ U ] 1 ; +l'inf [


x²-1 < 0 sur ] -1 ; 1 [

Mais je ne sait plus quoi faire à présent !

Pouvez-vous vous m'aider !

Bonjour,
ta fonction est donnée par \(f(x)=\frac{x^3-x^2+3}{x^2-1}\), c'est cela ?
Ton dénominateur s'annule en \(x=1\) et en \(x=-1\), c'est ce que tu as trouvé. Tu as donc deux valeurs interdites \(-1\) et \(1\).
Il faut donc étudier la limite à gauche de -1 puis à droite, et faire la même chose pour 1.
Par exemple : pour la limite à gauche de -1
Ton dénominateur \(x^2-1\) tend vers 0 en étant positif : c'est ce qu'on voit sur ton tableau de signes (on tend par valeurs inférieures à \(-1\), on est à gauche de \(-1\), il y a bien un signe + dans ton tableau).
Ton numérateur tend vers \((-1)^3-(-1)^2+3=1\) donc ton quotient est formé d'un numérateur positif qui tend vers 1 et d'un dénominateur positif qui tend vers 0 donc la limite est \(+\infty\) :
on a \(\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^3-x^2+3}{x^2-1}=+\infty\).
Il faut faire la même étude pour les trois autres limites.
Bonne continuation

Bonjour et un grand merci à vous pour cette réponse claire et détaillée...

Pour la suite je trouve donc :

lim(x→-1−) x^3 − x^2 + 3 / x^2−1= + ∞
lim(x→-1+ ) x^3 − x^2 + 3 / x^2 -1= - ∞

lim(x→1−) x^3 − x^2 + 3 / x^2 − 1 = - ∞
lim(x→1+) x^3 − x^2 + 3 / x^2−1 = +∞

Vous confirmez ?

Oui, Zazie, tu as trouvé les bons résultats.

Je vous remercie pour votre aide !!
À bientôt !

A bientôt Zazie.

Re.Bonjour !

La question suivante de mon exercice est :

- Interpréter graphiquement ces limites.

Du coup j'ai dis que :

Comme lim(x→1) x^3 − x^2 + 3 / x^2 − 1 = + - ∞ et que lim(x→-1 ) x^3 − x^2 + 3 / x^2 -1= + - ∞ alors les droites d'équations x = - 1 et x = 1 sont deux asymptotes verticales à la courbe (Cf) ---> (Cf) étant la courbe représentative de la fonction f.

Cependant, graphiquement remarque que (Cf) admet également une asymptote oblique !
Dois-je alors l'étudier et déterminer son équation à l'aide de la forme : f(x) = ax + b + quotient ?
Où comme la question me demande d'interpréter CES limites, je m'arrête à ce que j'ai fait ?

Merci...

Bonsoir,
oui c'est cela.
Pour l'asymptote oblique, il te reste à remarquer que \(\dfrac{x^3-x^2+1}{x^2-1}=\dfrac{(x-1)(x^2-1)+x+2}{(x^2-1)}=...\) et je te laisse séparer ta fraction en deux.
Bon courage

Bonjour...

Alors pour le coup je sais pas comment séparé cette fraction en 2 ......:(

Cependant je crois avoir trouvé par tâtonnements l'équation de l'asymptote oblique : y = x -1 C'est bien ça non ??

Bonjour Zazïe,

Pour couper en deux une fraction .... tu utilise la règle \(\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c}+\frac{b}{c}\) ....

Ton intuition est bonne et tu vas le prouver en "coupant" en deux puis en simplifiant ta fraction.

SoSMath.

Alors si j'essaye de couper :

X-1 + (x +2)/(x^2-1)

C ça ?

Mais je pas trop compris pourquoi on fait ça ?

Oui Zazïe, !

On fait cela pour montrer que l'équation de l'asymptote oblique est : y = x -1 !

Tu obtiens f(x) = X-1 + (x +2)/(x^2-1) soit f(x) - (X-1) = (x +2)/(x^2-1)

il te reste à montrer que \(\lim_{x \to +\infty}\)f(x) - (X-1) = 0.
Et d'après ton cours la courbe admet une asymptote oblique d'équation y=x-1.

SoSMath.

Ok super j'ai tout compris !!


On me demande par la suite :

- Quelle remarque peut-on faire sur cette courbes (Cf) quand x tend vers +l'inf et quand x tend vers -l'inf ?

Alors j'ai répondu : La courbe (Cf) est croissante lorsque x tend vers +l'inf et décroissante lorsque x tend vers -l'inf !

Est-ce correct ou c'est maladroit ?

Zazie,

on ne te demande pas les variations ... on veut juste que tu dises que la courbe se rapproche de la droite d'équation y = x-1.

SoSMath.

Ok merci beaucoup pour votre aide !