forme algébrique de z

[Olivia]

Bonjour, bonsoir

Voila, j'ai un DM de math et un très gros problème avec Z.
Z=(z-2+i)/(z+2i)
J'ai remplacé z par x+iy puis multiplié par le conjugué mais je suis bloqué après et la forme me parait bizarre.
Pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance!!!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Olivia,

Ta méthode me parait juste !
Si tu veux que je t'aide donne moi ton expression de Z avec x et y !

Remarque : pour écrire des formules mathématique (fractions, puissance, ...) utilise le bouton "éditeur d'équation".

SoSMath.

[Olivia]

Merci, j'accepte volontier votre aide.
Voici ce que j'ai fait: (l'icone éditeur d'équations n'apparait pas chez moi, je vais écrire de mon mieux.)
J'AI MAL RECOPIEE L'ENONCEE

Z=(z-1+i)/(z-2i) avec z qui n'égale pas 2i (V.I)

=(x+iy)-1+i/(x+iy)-2i
=(x+iy-1-i)*(2ix+2y)/(-2ix+2y)*(2ix+2y)

[Olivia]

Mon message précédent n'apparait pas???

[SoS-Math(9)]

Bonjour Olivia,

C'est normal que ton message n'apparaisse pas ... il faut attendre qu'un professeur le publie et parfois cela peut être long car il y a beaucoup de demande. Il faut être patient.

Attention à tes calculs .... (x+iy)-2i \(\neq\) -2ix+2y mais (x+iy)-2i = x + i(y-2).
Recommence tes calculs.

SoSMath.

[Olivia]

D'accord je saurais pour la prochaine fois, MERCI.
Donc mon numérateur est juste?
Et c'est cette factorisation que je n'arrive jamais à faire. Je vais essayer.

[Olivia]

Je dois donc factoriser par i au numérateur ?
DONC ce que j'aurais à retenir c'est qu'il faut factoriser dès que possible au numérateur et au dénominateur?

[Olivia]

Donc pour le dénominateur, on a
(y-2)^2+x^2 mais mon gros souci c'est le numérateur.

[SoS-Math(9)]

Olivia,

ce qu'il faut retenir, c'est que dans la forme algébrique d'un complexe, il faut faire apparaître la partie réelle et la partie imaginaire ... d'où la factorisation par i.
Ton dénominateur est juste ...
ton numérateur sera ((x+iy)-1+i)(x - i(y-2)) = ....
tu développes et tu fais apparaître la partie réelle et la partie imaginaire !

SoSMath.

[Olivia]

D'accord,
donc au numérateur:

((x+iy)-1+i)*(x(y-2))
((x+iy)*(y-2)+x-1)+i(et il n'y a pas de i de l'autre coté)

[Olivia]

Si je développe en final cela donne:

xy-1x+iy^2-2iy/dénominateur +i(x^2+xiy-y-2)/ dénominateur

[SoS-Math(9)]

Olivia,

je ne comprends pas ce que tu fais !

((x+iy)-1+i)(x - i(y-2))
= (x-1+i(1+y))(x - i(y-2))
= (x-1)x -i²(1+y)(y-2) - i(x-1)(y-2) + i(1+y)x
= (x-1)x + (1+y)(y-2) + i((1+y)x - (x-1)(y-2))
= ....
Je te laisse réduire tes parties réelles et imaginaires.

SoSMath.

[Olivia]

Dois-je développer les x devant les parenthèses? Cela fait plus d'une heure que je ne comprend pas la factorisation...

[Olivia]

Puis-je directement conclure Re(z) et Im(z)?

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Olivia,

Tu peux effectivement conclure sur la partie réelle et la partie imaginaire avec :

= (x-1)x + (1+y)(y-2) + i((1+y)x - (x-1)(y-2))

Hélas, ces formes ne sont pas très belles. Il faudrait les réduire un peu.

Tu peux donc développer (x-1)x et (1+y)(y-2) pour la partie réelle et (1+y)x - (x-1)(y-2) pour la partie imaginaire. (Distribuer les x devant les parenthèses me semble donc une bonne idée).

Bon courage !