Probabilité

[Pierre]

Bonjour voici mon exercice pouvez vous me dire si mon raisonnement est correct merci car pour la question je ne suis pas sur ?

La taille d'un épi de blé d'une population P est modélisée par X de loi Normal N(15,36)

Quelle est la probabilité pour un épi ait une taille inférieur à 16 cm
\(P(X\prec 16)=P( (X-\mu) /\sigma <(16-15) /6)=\phi (0.16)=0.5636\)

On admet qu'il y a environ 15 millions d’épis dans P donner une estimation du nombre d’épis de plus de 20cm
\(P(X\succ 20)=1-P(X\prec 20) P(X\prec 20)=P( (X-\mu) /\sigma <(20-15) /6)=\phi (0.833)=0.7967\)

\(P(X\succ 20)=1-\phi (0.833)\)
=1-0.7967
=0.2023
On veut P(X>20) dans une population qu'on nomme NB
NB/15 000 000 donc \(P(X\succ 20)=1-P(X\prec 20)\)

NB=0.2023*15 000 000 =3034500

Quelle est la probabilité pour que 10 épis prélevés dans P aient une taille dans l'intervalle [16,20]
\(P(16\prec X\prec 20)=P( (16-15) /6<(X-\mu) /\sigma <(20-15) /6)\)
\(\phi (0.83)-(1-\phi (0.16))\)
\(\phi (0.83)+\phi (0.16)-1=0.3603\)

On répète 10 fois l’expérience de manière indépendante
On considère comme succès l’épi a une taille supérieur à 20cm
Nous avons une expérience de Bernoulli de paramètre n=10 et p=0.3603
P(X=10)=3.68*10^-5

On suppose que la taille Y d'un épi de blé d'une population P' est modélisée par une loi normal N(15,16) et que X et Y sont des variable indépendante
Quelle est la probabilité pour qu'un épi pris dans P soit plus grand qu'un épi choisi dans P'
Ici j'aurais fait Pro(P>P') =Pro(P-P'>0)
P avec N(15,36)
P' avec N(15,16)

P-P' N=(15-15,36+16)
N=(0,52)

Soit Z=P-P' avec N(0,52)
\(P(Z>0)=P(Z-0/\sqrt{52}>0/52)=\phi (0)=0.5\)

Merci d'Avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Pierre,

Il y a une erreur pour le calcul de P(16<X<20) ... P(16<X<20) = \(\Phi\)(0,833) - \(\Phi\)(0,166) et non \(\Phi\)(0,833) + \(\Phi\)(0,166) - 1.

Ensuite "On considère comme succès l’épi a une taille supérieur à 20cm", donc p = P(X > 20) = 0,2023 et non 0.3603.

Le reste semble correct.

SoSMath.

[Pierre]

Merci pour votre réponse,j'aurai une autre question

Ici on a bien P(16<X<20) donc je comprend pas pourquoi
on est pas obligé de changer P(X>16) en 1-P(X<16) pour lire dans la table c'est pour cela que j'avais un doute
ce qui donnerai 1-Φ(0,16)

Merci d'Avance

[SoS-Math(9)]

Pierre,

P(X<16) correspond à l'aire sous la courbe de Gauss comprise entre \(-\infty\) et 16.
P(X<20) correspond à l'aire sous la courbe de Gauss comprise entre \(-\infty\) et 20.

Or P(16<X<20) correspond à l'aire sous la courbe de Gauss comprise entre 16 et 20,
donc P(16<X<20) correspond à l'aire sous la courbe de Gauss comprise entre \(-\infty\) et 20 moins celle comprise entre \(-\infty\) et 16.
D'où P(16<X<20) = P(X<20) - P(X<16).

SoSMath.

[Pierre]

Merci pour votre explication qui ma permis de bien comprendre